[论文解读] Approximate well-supported Nash equilibria in symmetric bimatrix games

Artur Czumaj, Michail Fasoulakis+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2014

Game Theory and Applications参考文献 11被引用 4

一句话总结

本文提出了一种多项式时间算法，可在任意给定的 δ > 0 时，计算对称双矩阵博弈中的 (1/2 + δ)-强健纳什均衡。该方法结合了对称纳什均衡的两种松弛方式：一种基于线性规划的收益防止方法（用于 1/2 情况），另一种基于霍夫丁不等式的概率分析，以处理剩余情况，从而确保以高概率收敛至近似均衡。

ABSTRACT

The $\varepsilon$-well-supported Nash equilibrium is a strong notion of approximation of a Nash equilibrium, where no player has an incentive greater than $\varepsilon$ to deviate from any of the pure strategies that she uses in her mixed strategy. The smallest constant $\varepsilon$ currently known for which there is a polynomial-time algorithm that computes an $\varepsilon$-well-supported Nash equilibrium in bimatrix games is slightly below $2/3$. In this paper we study this problem for symmetric bimatrix games and we provide a polynomial-time algorithm that gives a $(1/2+δ)$-well-supported Nash equilibrium, for an arbitrarily small positive constant $δ$.

研究动机与目标

• 改进对称双矩阵博弈中强健纳什均衡的近似保证。
• 解决对称博弈中精确纳什均衡计算的计算困难性问题。
• 设计一种多项式时间算法，其近似性能优于一般双矩阵博弈中已知的最佳界限。
• 利用对称博弈的结构特性，设计更高效的近似方法。

提出的方法

• 该算法首先通过单个线性规划检查是否存在一种对称策略组合，使得收益不超过 1/2。
• 若不存在此类组合，则采用基于有界支撑下混合策略抽样的概率构造方法。
• 利用霍夫丁不等式来限制在抽样策略下期望收益的偏差概率。
• 为每个纯策略在随机抽样下的收益定义一个随机变量，确保其集中在真实期望值附近。
• 通过对支撑集中所有策略应用并集界，证明在正概率下，支撑集中所有策略的收益均在最优值 δ 范围内。
• 该算法构造出一对混合策略 (x, y)，使其能强健地支持接近最优的值，从而确保为 (1/2 + δ)-强健纳什均衡。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在对称双矩阵博弈中，为强健纳什均衡实现优于 2/3 的近似保证？
• RQ2 是否能够以多项式时间计算对称博弈中的 (1/2 + δ)-强健纳什均衡？
• RQ3 能否通过基于收益防止的对称纳什均衡松弛来设计高效的近似算法？
• RQ4 如何利用概率抽样与集中不等式在对称博弈中构造近似均衡？

主要发现

• 本文提出了一种多项式时间算法，可为任意 δ > 0 在对称双矩阵博弈中计算出 (1/2 + δ)-强健纳什均衡。
• 当存在收益值不超过 1/2 的对称纳什均衡时，该算法通过单个线性规划求解找到该均衡。
• 对于不存在此类均衡的游戏，该算法采用支撑大小被 κ(δ) = 2δ² ln(1/δ) 限制的策略随机抽样。
• 在正概率下，抽样得到的策略可使支撑集中所有策略的收益均在最优值 δ 范围内，从而确保 (1/2 + δ)-强健纳什均衡。
• 分析中使用霍夫丁不等式来限制收益偏差的尾部概率，并通过并集界确保在所有支撑策略上均以高概率成功。
• 该方法保证所得到的策略组合为 (1/2 + δ)-强健纳什均衡，优于一般双矩阵博弈中已知的最佳界限 ~0.6619。