[论文解读] Approximately Optimal Mechanisms for Strategyproof Facility Location: Minimizing $L_p$ Norm of Costs

Itai Feigenbaum, Jay Sethuraman+1 more|arXiv (Cornell University)|May 10, 2013

Game Theory and Voting Systems参考文献 6被引用 8

一句话总结

本文研究了在直线上最小化代理成本的 $L_p$ 范数的策略无关设施位置机制。证明了中位数机制在所有确定性机制中实现了最优的 $2^{1-1/p}$ 近似比；对于 2 名代理，LRM 机制在所有随机化机制中是最优的——尽管当 $p > 2$ 时，随机化并未改善该界，这与 $p=2$ 和 $p=\infty$ 的情况不同。

ABSTRACT

We consider the problem of locating a single facility on the real line. This facility serves a set of agents, each of whom is located on the line, and incurs a cost equal to his distance from the facility. An agent's location is private information that is known only to him. Agents report their location to a central planner who decides where to locate the facility. The planner's objective is to minimize a "social" cost function that depends on the agent-costs. However, agents might not report truthfully; to address this issue, the planner must restrict himself to {\em strategyproof} mechanisms, in which truthful reporting is a dominant strategy for each agent. A mechanism that simply chooses the optimal solution is generally not strategyproof, and so the planner aspires to use a mechanism that effectively {\em approximates} his objective function. In our paper, we study the problem described above with the social cost function being the $L_p$ norm of the vector of agent-costs. We show that the median mechanism (which is known to be strategyproof) provides a $2^{1-\frac{1}{p}}$ approximation ratio, and that is the optimal approximation ratio among all deterministic strategyproof mechanisms. For randomized mechanisms, we present two results. First, we present a negative result: we show that for integer $\infty>p>2$, no mechanism---from a rather large class of randomized mechanisms--- has an approximation ratio better than that of the median mechanism. This is in contrast to the case of $p=2$ and $p=\infty$ where a randomized mechanism provably helps improve the worst case approximation ratio. Second, for the case of 2 agents, we show that a mechanism called LRM, first designed by Procaccia and Tennenholtz for the special case of $L_{\infty}$, provides the optimal approximation ratio among all randomized mechanisms.

研究动机与目标

• 设计策略无关机制，以最小化实直线上设施位置的代理成本的 $L_p$ 范数。
• 确定确定性与随机化策略无关机制可实现的最佳近似比。
• 研究当 $p > 2$ 时，随机化是否能超越确定性中位数机制的近似比。
• 在平移不变性、尺度不变性与对称性约束下，刻画最优机制。
• 将先前关于最小和（$p=1$）与最小最大值（$p=\infty$）的研究扩展至一般的 $L_p$ 范数。

提出的方法

• 分析确定性策略无关机制，证明中位数机制实现了 $2^{1-1/p}$ 的近似比。
• 引入一个变换引理，将关注范围限制在仅在两名代理位置与中位数之间随机化的机制上。
• 利用平移不变性、尺度不变性与对称性简化机制空间，并证明 LRM 在 2 名代理情形下的最优性。
• 采用概率分析方法研究在策略无关性约束下的成本函数，利用对称性与积分条件。
• 应用一个负面结果，表明当 $p > 2$ 时，一大类机制——包括那些具有平移、尺度不变性与对称性的机制——无法在最坏情况近似比上超越中位数机制。
• 比较不同 $p$-范数下的近似比，表明随机化仅在 $p=2$ 与 $p=\infty$ 情况下有帮助。

实验结果

研究问题

• RQ1 任何确定性策略无关机制在最小化代理成本的 $L_p$ 范数时，可实现的最佳近似比是多少？
• RQ2 当 $p > 2$ 时，随机化机制能否改善 $L_p$ 成本最小化的最坏情况近似比？
• RQ3 在 $L_p$ 成本最小化下，LRM 机制是否为 2 名代理情形下所有随机化策略无关机制中的最优？
• RQ4 平移不变性、尺度不变性与对称性约束是否允许对最优机制进行完整刻画？
• RQ5 中位数机制在不同 $p$-范数下的近似比如何比较？

主要发现

• 中位数机制实现了 $2^{1-1/p}$ 的近似比，这在所有确定性策略无关机制中是最优的。
• 当 $p > 2$ 时，一大类机制——包括具有平移、尺度不变性与对称性的机制——无法在最坏情况近似比上超越中位数机制。
• 在 2 名代理情形下，LRM 机制在所有随机化策略无关机制中实现了最优近似比 $0.5(2^{1-1/p} + 1)$。
• 当 $p > 2$ 时，随机化并未改善最坏情况近似比，这与 $p=2$ 和 $p=\infty$ 的情况不同。
• LRM 机制是在 2 名代理情形下，所有平移与尺度不变的随机化机制中的最优解。
• 一个变换引理表明，任何策略无关机制均可被替换为仅在代理报告的位置与中位数之间随机化的机制，而不会恶化近似比。