[论文解读] Approximately Stable Matchings with Budget Constraints

Yasushi Kawase, Atsushi Iwasaki|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2017

Game Theory and Voting Systems被引用 6

一句话总结

本文提出了一种新型框架，用于在预算约束下进行双边匹配，其中医院面临固定工资预算而非配额限制。该框架提出两种机制——一种牺牲策略鲁棒性以实现最佳可能的近似界 $\frac{1}{1 - \overline{s}}$，另一种在比例效用市场中对医生保持策略鲁棒性，且近似比有界——两者均通过基于合同规模排序的顺序选择函数高效计算近似稳定的匹配。

ABSTRACT

This paper considers two-sided matching with budget constraints where one side (firm or hospital) can make monetary transfers (offer wages) to the other (worker or doctor). In a standard model, while multiple doctors can be matched to a single hospital, a hospital has a maximum quota: the number of doctors assigned to a hospital cannot exceed a certain limit. In our model, a hospital instead has a fixed budget: the total amount of wages allocated by each hospital to doctors is constrained. With budget constraints, stable matchings may fail to exist and checking for the existence is hard. To deal with the nonexistence of stable matchings, we extend the "matching with contracts" model of Hatfield and Milgrom, so that it handles approximately stable matchings where each of the hospitals' utilities after deviation can increase by factor up to a certain amount. We then propose two novel mechanisms that efficiently return such a stable matching that exactly satisfies the budget constraints. In particular, by sacrificing strategy-proofness, our first mechanism achieves the best possible bound. Furthermore, we find a special case such that a simple mechanism is strategy-proof for doctors, keeping the best possible bound of the general case.

研究动机与目标

• 解决在双边匹配市场中，预算约束下稳定匹配可能不存在的问题。
• 将匹配与合同框架扩展至处理乘法效用改进下的近似稳定匹配。
• 设计高效机制，在精确满足预算约束的同时，最小化阻断联盟的最大效用增益。
• 探讨在预算约束匹配中策略鲁棒性与近似质量之间的权衡。
• 为一般和比例效用设置建立近似比的紧致界。

提出的方法

• 引入 $\alpha$-近似作为稳定性的松弛，仅允许医院在效用提升因子 $\alpha$ 时偏离。
• 提出算法 2 和算法 4，用于非策略鲁棒机制，利用基于大小排序的选择函数，在预算约束下贪婪地按合同大小选择。
• 设计算法 5 作为顺序、顺序无关、大小单调的选择函数，按大小递增顺序选择合同以最大化预算利用率。
• 将广义延迟接受（DA）机制与这些选择函数结合，多项式时间内计算近似稳定匹配。
• 证明算法 5 中的选择函数为 $\frac{1}{1 - \overline{s}}$-近似，其中 $\overline{s}$ 是合同工资占医院预算的最大比例。
• 在比例效用情况下，利用算法 5 证明医生的策略鲁棒性，同时保持有界的近似比。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否设计一种机制，在精确满足预算约束的同时计算出近似稳定的匹配？
• RQ2 在加法效用设置下，若牺牲策略鲁棒性，可实现的最佳近似比是多少？
• RQ3 是否存在一种对医生策略鲁棒的机制，同时在比例效用市场中仍能实现有界的近似比？
• RQ4 选择函数的结构（如大小单调性、顺序性）如何影响近似保证？
• RQ5 我们能否为一般和比例效用模型推导出近似比的紧致上下界？

主要发现

• 非策略鲁棒机制实现了 $\frac{1}{1 - \overline{s}}$ 的近似比，该结果为最优并匹配下界。
• 在比例效用市场中，策略鲁棒机制实现了 $\frac{1}{1 - \overline{s}}$ 的近似比，与已知最佳上界一致。
• 在比例情况下，另一种机制实现了更优的近似比 1.62，该值为紧致界，上下界均为 1.62。
• 算法 5 定义的选择函数被证明具有顺序性、顺序无关性、大小单调性，且为 $\frac{1}{1 - \overline{s}}$-近似。
• 使用算法 5 的广义 DA 机制对医生策略鲁棒，且时间复杂度为 $O(|X|\log|X|)$。
• 本文证明了在一般加法情况下，$\frac{1}{1 - \overline{s}}$ 的界是紧致的，且在相同条件下无法获得更优的界。