[论文解读] Approximating ATSP by Relaxing Connectivity

Ola Svensson|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2015

Complexity and Algorithms in Graphs被引用 4

一句话总结

本文提出了一种新颖的方法，通过将全局连通性要求松弛为局部连通性条件，来近似处理不对称旅行商问题（ATSP），引入了一种新问题——局部连通性ATSP。作者针对节点加权最短路径度量下的该松弛问题设计了一种3-光算法，并通过一种通用归约，实现了对节点加权ATSP的常数因子近似，从而解决了该特殊情形下长期存在的开放问题。

ABSTRACT

The standard LP relaxation of the asymmetric traveling salesman problem has been conjectured to have a constant integrality gap in the metric case. We prove this conjecture when restricted to shortest path metrics of node-weighted digraphs. Our arguments are constructive and give a constant factor approximation algorithm for these metrics. We remark that the considered case is more general than the directed analog of the special case of the symmetric traveling salesman problem for which there were recent improvements on Christofides' algorithm. The main idea of our approach is to first consider an easier problem obtained by significantly relaxing the general connectivity requirements into local connectivity conditions. For this relaxed problem, it is quite easy to give an algorithm with a guarantee of 3 on node-weighted shortest path metrics. More surprisingly, we then show that any algorithm (irrespective of the metric) for the relaxed problem can be turned into an algorithm for the asymmetric traveling salesman problem by only losing a small constant factor in the performance guarantee. This leaves open the intriguing task of designing a "good" algorithm for the relaxed problem on general metrics.

研究动机与目标

• 解决在节点加权最短路径度量下设计ATSP常数因子近似算法这一长期开放问题。
• 克服现有方法依赖环覆盖或具有无界整数规划间隙的LP松弛的局限性。
• 通过以局部连通性约束替代全局连通性，提出ATSP的一种新松弛形式——局部连通性ATSP。
• 建立一种通用归约，将任何局部连通性ATSP的α-光算法转化为一般ATSP的O(α)-近似。
• 探索在一般度量下，局部连通性ATSP是否存在常数-光算法，若存在则可为一般ATSP提供常数因子近似。

提出的方法

• 引入局部连通性ATSP，即ATSP的一种松弛形式，其中全局连通性被替换为顶点子集上的局部连通性条件。
• 将“光”算法定义为解权重受子集S的下界函数lb(S)常数倍约束的算法。
• 针对节点加权有向图上的局部连通性ATSP，提出一种3-光算法，采用类似原始对偶的构造方法，通过迭代选择环覆盖实现。
• 使用通用归约：对于给定度量下，任何α-光的局部连通性ATSP算法均可转化为一般ATSP的O(α)-近似。
• 利用节点加权度量的结构特性，其中环权重受下界函数约束，以收紧分析，实现Held-Karp松弛的整数规划间隙至多为13。
• 应用一种计费论证与下界技术，结合下界函数lb，证明解权重在最优值的常数因子范围内。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在节点加权最短路径度量下的不对称TSP中实现常数因子近似，而此前方法因整数规划间隙无界而失败？
• RQ2 在一般度量下，局部连通性ATSP是否存在常数-光算法，若存在则可为一般ATSP提供常数因子近似？
• RQ3 通用归约（从局部连通性ATSP到ATSP）是否可用于在不同度量类之间传递近似保证？
• RQ4 在节点加权ATSP设定下，Held-Karp松弛的最紧可能整数规划间隙是多少？
• RQ5 近期在无权图上的STSP研究进展是否可推广至节点加权图，从而实现(1.5−ε)-近似？

主要发现

• 为节点加权最短路径度量下的局部连通性ATSP设计了一种3-光算法，证明了此类解存在常数近似因子。
• 通用归约表明，任何局部连通性ATSP的α-光算法均可导出一般ATSP的O(α)-近似，从而实现近似保证的转移。
• 在节点加权度量下，Held-Karp松弛的整数规划间隙被限制在13以内，优于先前的界限。
• 该方法解决了节点加权ATSP常数因子近似这一开放问题，其特殊情形比近期在无权图上STSP改进更具普遍性。
• 论文尚开放在一般度量下局部连通性ATSP是否存在常数-光算法的问题，若存在则可为一般ATSP提供常数因子近似。
• 该方法为ATSP近似提供了一种新框架，聚焦于局部连通性，为解决更广泛的ATSP猜想提供了新路径。