[论文解读] Approximating branchwidth on parametric extensions of planarity

Dimitrios M. Thilikos, Sebastian Wiederrecht|arXiv (Cornell University)|Apr 10, 2023

Advanced Graph Theory Research被引用 5

一句话总结

该论文提出了一种针对排除射影平面图和环面图作为子式之图类的分支宽度的(1+ε)-近似算法，利用了骨架图为平面图的结构分解。证明了通过具有有界附着度和平面分量的树分解，可高效地近似分支宽度，从而实现运行时间为 O(n³ + f(1/ε)·n) 的EPTAS。

ABSTRACT

The branchwidth of a graph has been introduced by Roberson and Seymour as a measure of the tree-decomposability of a graph, alternative to treewidth. Branchwidth is polynomially computable on planar graphs by the celebrated ``Ratcatcher'' algorithm of Seymour and Thomas. We explore how this algorithm can be extended to minor-closed graph classes beyond planar graphs, as follows: Let $H_{1}$ be a graph embeddable in the torus and $H_{2}$ be a graph embeddable in the projective plane. We prove that every $\{H_{1},H_{2}\}$-minor free graph $G$ contains a subgraph $G'$ whose branchwidth differs from that of $G$ by a constant depending only on $H_1$ and $H_2$. Moreover, the graph $G'$ admits a tree decomposition where all torsos are planar. This decomposition allows for a constant-additive approximation of branchwidth: For $\{H_{1},H_{2}\}$-minor free graphs, there is a constant $c$ (depending on $H_{1}$ and $H_{2}$) and an $\mathcal{O}(|V(G)|^{3})$-time algorithm that, given a graph $G$, outputs a value $b$ such that the branchwidth of $G$ is between $b$ and $b+c$.

研究动机与目标

• 将分支宽度的ratcatcher算法适用范围从平面图扩展至更广的子式封闭图类。
• 解决在单交叉子式封闭图类之外的图类中分支宽度缺乏多项式时间算法的问题。
• 为排除射影平面图和环面图作为子式的图类设计高效的分支宽度近似方案。
• 建立骨架图为平面图的结构分解，以支持在有界宽度分量上的动态规划。
• 证明此类图的分支宽度可在任意(1+ε)因子内以时间 O(n³ + f(1/ε)·n) 近似得到。

提出的方法

• 利用图子式结构理论，特别是子式封闭族的全局结构定理。
• 应用局部结构定理，将图分解为附着度有界且骨架图为平面的分量。
• 利用tangles和societies分析局部连通性，并在嵌入图中定义平坦墙。
• 构建一种树分解，其中每个骨架图要么较小（|β(t)| ≤ g(k)），要么具有有界宽度和宽度的Σ-分解。
• 使用无涡旋嵌入和平坦3-墙的概念，以确保分解中的结构控制。
• 应用定理6.5，界定Gₜ与Gₜ−Xₜ之间分支宽度的差异，从而获得最终的近似保证。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将ratcatcher算法在分支宽度上的适用性从平面图扩展至子式封闭族？
• RQ2 哪些结构特性使得在排除射影平面图和环面图作为子式的图类中可实现高效的分支宽度近似？
• RQ3 是否存在一种树分解，使得{H₀,H₁}-无子式图类（其中H₀为射影平面图，H₁为环图）的骨架图为平面图且附着度有界？
• RQ4 此类分解能否支持具有高效运行时间的(1+ε)-近似方案？
• RQ5 在该类图中，图与其具有平面骨架图的子图之间的分支宽度最大差异是多少？

主要发现

• 对任意ε > 0，存在一种在{H₀,H₁}-无子式图类上分支宽度的(1+ε)-近似算法，运行时间为O(n³ + f(1/ε)·n)。
• 该算法为EPTAS，其中f(1/ε)仅依赖于被排除的子式H₀和H₁。
• 每个{H₀,H₁}-无子式图G均存在一个子图G′，使得|bw(G) − bw(G′)| ≤ f(k)，其中f(k)是被排除子式的函数。
• 子图G′允许一种树分解，其中所有骨架图均为平面图，且附着度有界于g(k)。
• 分解中每个骨架图的分支宽度与完整骨架图的分支宽度之差至多为f(k) = 2g(k)(g(k)−1) + g(k)，从而确保近似误差有界。
• 该结构结果依赖于分解中平坦3-墙和无涡旋嵌入的存在，从而实现宽度的有界控制。