[论文解读] Approximating certain cell-like maps by homeomorphisms

Robert D. Edwards|arXiv (Cornell University)|Jul 27, 2016

Growth Hormone and Insulin-like Growth Factors参考文献 5被引用 5

一句话总结

该论文证明，从维数 $ \geq 5 $ 的流形 $ M $ 到一个 ANR $ Q $ 的恰当胞状映射 $ f: M \to Q $ 可被同胚映射逼近，当且仅当 $ Q $ 具有不相交圆盘性质。证明使用了一种新颖的零维分解压缩技术，并通过迭代精化构造逼近同胚映射，为在广义流形中识别高维流形提供了决定性准则。

ABSTRACT

Given a proper map f : M $ ightarrow$ Q, having cell-like point-inverses, from a manifold-without-boundary M onto an ANR Q, it is a much-studied problem to find when f is approximable by homeomorphisms, i.e., when the decomposition of M induced by f is shrinkable (in the sense of Bing). If dimension M $\geq$ 5, J. W. Cannon's recent work focuses attention on whether Q has the disjoint disc property (which is: Any two maps of a 2-disc into Q can be homotoped by an arbitrarily small amount to have disjoint images; this is clearly a necessary condition for Q to be a manifold, in this dimension range). This paper establishes that such an f is approximable by homeomorphisms whenever dimension M $\geq$ 5 and Q has the disjoint disc property. As a corollary, one obtains that given an arbitrary map f : M $ ightarrow$ Q as above, the stabilized map f $ imes$ id($\mathbb{R}^{2}$) : M $ imes$ $\mathbb{R}^{2}$ -> Q $ imes$ $\mathbb{R}^{2}$ is approximable by homeomorphisms. The proof of the theorem is different from the proofs of the special cases in the earlier work of myself and Cannon, and it is quite self-contained. This work provides an alternative proof of L. Siebenmann's Approximation Theorem, which is the case where Q is given to be a manifold.

研究动机与目标

• 确定从维数 $ \geq 5 $ 的流形 $ M $ 到 ANR $ Q $ 的恰当胞状映射 $ f: M \to Q $ 何时可被同胚映射逼近。
• 确立 $ Q $ 的不相交圆盘性质作为此类逼近的必要且充分条件。
• 提供一个自包含的逼近定理证明，该证明推广并重新证明了当 $ Q $ 为流形时 L. Siebenmann 的结果。
• 通过分解理论解决在可分解广义流形中识别高维流形这一长期悬而未决的问题。
• 通过在非退化点原像的零维集合上使用迭代压缩技术，提供逼近定理的新且独立的证明。

提出的方法

• 使用 Bing 压缩准则作为验证同胚映射逼近性的基础工具。
• 将零维压缩定理应用于非退化集在 $ M $ 中维数为 0 且余维数 $ \geq 3 $ 的分解。
• 通过管状邻域构造，将一般情形约化为可数的零度量非退化点原像集合。
• 采用迭代构造过程：在每一阶段 $ i $，在紧致子集 $ P^i_j \subset P^i $ 上对映射进行精化，确保余维数 $ \geq 3 $ 且逼近控制得当。
• 使用上界接近逼近以控制收敛性，确保极限映射为同胚映射。
• 利用胞状映射在非退化集为零维且余维数 $ \geq 3 $ 时可压缩的性质，即使 $ Q $ 无有限维数假设也成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 从维数 $ \geq 5 $ 的流形 $ M $ 到 ANR $ Q $ 的恰当胞状映射 $ f: M \to Q $ 在何种条件下可被同胚映射逼近？
• RQ2 不相交圆盘性质是否为该类映射逼近的必要且充分条件？
• RQ3 该逼近结果能否在不依赖先前结果（如 Siebenmann 的逼近定理）的前提下证明？
• RQ4 如何在保持余维数和逼近控制的前提下，迭代压缩由胞状映射诱导的流形分解？
• RQ5 余维数 $ \geq 3 $ 条件在非退化点原像的可压缩性中起什么作用？

主要发现

• 从维数 $ \geq 5 $ 的流形 $ M $ 到 ANR $ Q $ 的恰当胞状映射 $ f: M \to Q $，若 $ Q $ 具有不相交圆盘性质，则可被同胚映射逼近。
• 不相交圆盘性质在维数 $ \geq 5 $ 时，既是此类映射逼近的必要条件也是充分条件。
• 稳定化映射 $ f \times \text{id}(\mathbb{R}^2): M \times \mathbb{R}^2 \to Q \times \mathbb{R}^2 $ 可被同胚映射逼近，即使 $ Q $ 不是流形。
• 该证明是自包含的，并提供了 L. Siebenmann 逼近定理的另一种推导。
• 零维压缩定理在 $ M $ 无维数限制时仍成立，且即使非退化集的像在 $ Q $ 中稠密也适用。
• 当余维数降至 2 时存在反例，表明余维数 $ \geq 3 $ 条件是必不可少的。