[论文解读] Approximating classes of functions defined by operators of differentiation or operators of generalised translation by means of algebraic polynomials

Nimete Sh. Berisha, Faton M. Berısha|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2012

Approximation Theory and Sequence Spaces参考文献 1被引用 3

一句话总结

本文通过基于非对称广义平移算子定义的广义模光滑度，建立了在加权 $L_p$ 空间上，函数在 $[-1,1]$ 上被代数多项式最佳逼近的必要与充分条件。关键贡献在于通过广义微分算子 $D_{x,\nu,\mu}$ 对导数的光滑度条件对逼近类进行表征，将逼近误差的衰减速率与广义模连续性测量的高阶导数光滑度联系起来。

ABSTRACT

In this paper, approximation by means of algebraic polynomials of classes of functions defined by a generalised modulus of smoothness of operators of differentiation of these functions is considered. We give structural characteristics of classes of functions defined by the order of best approximation by algebraic polynomials.

研究动机与目标

• 通过基于非对称广义平移算子的广义模光滑度，表征 $[-1,1]$ 上加权 $L_p$ 空间中的函数类。
• 建立函数被次数 $\leq n-1$ 的代数多项式最佳逼近的必要与充分条件。
• 将最佳逼近误差 $E_n(f)_{p,\alpha,\beta}$ 的衰减速率与广义微分算子 $D_{x,\nu,\mu}$ 下的 $2r$ 阶导数的光滑度联系起来。

提出的方法

• 基于涉及 $R = x\cos t - z\sqrt{1-x^2}\sin t$ 的核，引入一个针对雅可比权空间量身定制的非对称广义平移算子 $\tilde{T}_t(f,x)$。
• 定义广义模光滑度 $\tilde{\omega}(f,\delta)_{p,\alpha,\beta} = \sup_{|t|\leq\delta} \|\tilde{T}_t f - f\|_{p,\alpha,\beta}$，以测量加权 $L_p$ 范数下的光滑度。
• 使用广义微分算子 $D_{x,\nu,\mu} = (1-x^2)\frac{d^2}{dx^2} + (\mu - \nu - (\nu + \mu + 2)x)\frac{d}{dx}$ 定义函数的高阶光滑度。
• 应用加权多项式逼近理论，利用代数多项式在雅可比权 $L_p$ 范数下的导数有界性。
• 建立 $E_n(f)_{p,\alpha,\beta}$ 的衰减速率与 $D_{x,\nu,\mu}^r f$ 的光滑度之间的等价性，后者由 $\tilde{\omega}(D_{x,\nu,\mu}^r f, \delta)_{p,\alpha,\beta}$ 测量。
• 采用满足次可加性与双倍型条件的模连续性类型函数 $\varphi$ 来量化光滑度。

实验结果

研究问题

• RQ1 广义模光滑度 $\tilde{\omega}(f,\delta)_{p,\alpha,\beta}$ 需满足何种条件，才能使最佳逼近误差 $E_n(f)_{p,\alpha,\beta}$ 以 $\varphi(1/n)$ 的速率衰减？
• RQ2 广义意义下 $2r$ 阶导数 $D_{x,\nu,\mu}^r f$ 的光滑度如何与逼近误差 $E_n(f)_{p,\alpha,\beta}$ 相关联？
• RQ3 在哪些参数范围 $p$, $\alpha$, $\beta$, $\nu$, $\mu$ 内，逼近误差与广义光滑度之间的等价性成立？

主要发现

• 当且仅当广义模光滑度满足 $\tilde{\omega}(f,\delta)_{p,\alpha,\beta} \leq C_2 \varphi(\delta)$ 时，最佳逼近误差满足 $E_n(f)_{p,\alpha,\beta} \leq C_1 \varphi(1/n)$，其中 $\varphi$ 为模连续性类型的函数。
• 对于 $r \geq 0$，衰减速率 $E_n(f)_{p,\alpha,\beta} \leq \frac{C_1}{n^{2r}} \varphi(1/n)$ 与 $\tilde{\omega}(D_{x,\nu,\mu}^r f, \delta)_{p,\alpha,\beta} \leq C_2 \varphi(\delta)$ 等价，且 $D_{x,\nu,\mu}^0 f = f$。
• 明确给出了 $\alpha$, $\beta$, $\nu$, $\mu$, $p$ 的条件，确保在 $\alpha > 1 - \frac{1}{2p}$, $\beta > 1 - \frac{1}{2p}$（当 $1 < p < \infty$ 时）以及 $\alpha, \beta \geq 1$（当 $p = \infty$ 时）等约束下等价性成立。
• 结果将经典的杰克逊型定理推广至使用非对称广义平移算子的雅可比权 $L_p$ 空间。
• 在 $\varphi$ 的温和条件下（包括双倍性与可比性性质），等价性成立，确保了表征的稳健性。
• 当 $\varphi(\delta) = \delta^\lambda$ 且 $2\lambda_0 < \lambda < 2$ 时，结果恢复并扩展了先前工作（如 [13]）中已知的精确估计（例如 $r=0$ 时）。