[论文解读] Approximating classifying spaces by smooth projective varieties

Torsten Ekedahl|ArXiv.org|May 11, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 13

一句话总结

本文通过代数扭子构造光滑射影簇，使其在给定上同调度内逼近约化代数群的分类空间。关键结果表明，对于非特殊线性群，存在光滑射影基上的代数 $G$-扭子，其在完成的代数簇格罗斯克罗夫林环中的类不满足 $[P] = [G][X]$，从而揭示了 $\widehat{K}_0$ 中标准关系的失效。该结果解决了关于格罗斯克罗夫林环结构的问题，并为群的特殊性提供了拓扑障碍。

ABSTRACT

We prove that for every reductive algebraic group $H$ with centre of positive dimension and every integer $K$ there is a smooth and projective variety $X$ and an algebraic $H$-torsor $P o X$ such that the classifying map $X o \Bclass H$ induces an isomorphism in cohomology in degrees $\le K$. This is then applied to show that if $G$ is a connected non-special group there is a $G$-torsor $P o X$ for which we do not have $[P]=[G][X]$ in the (completion of the) Grothendieck ring of varieties.

研究动机与目标

• 将阿蒂亚与赫兹布吕赫关于有限群的分类空间代数扭子逼近方法，推广至非有限群的约化群。
• 解决关于在完成的格罗斯克罗夫林环 $\widehat{K}_0$ 中，代数 $G$-扭子在光滑射影簇上是否恒有 $[P] = [G][X]$ 的问题。
• 证明对于非特殊线性代数群，存在此类扭子，使得其关联的 $G/B$-纤维丛的上同调不与基与旗流形上同调的乘积加法同构。
• 通过光滑射影簇的逼近，为 $\mathrm{B}G$ 的有理上同调的纯性提供几何解释。
• 证明 $\widehat{K}_0$ 中 $[P] = [G][X]$ 的失效不仅是数值性的，而是具有无限阶，利用 [Ek09a] 中的上同调不变量。

提出的方法

• 利用格拉斯曼流形 $\mathrm{Gr}(k,n+k)$ 对 $\mathrm{BGL}_k(\mathbb{C})$ 的同伦逼近，这些流形是光滑射影簇，并带有代数 $\mathrm{GL}_k(\mathbb{C})$-扭子。
• 应用肯普夫对射影表示中不稳定点的归纳分层方法，以控制超曲面截面的上同调并减去不稳定贡献。
• 利用庞加莱对偶性与 $G$-不变形式的结构，分析基与扭子的上同调，重点关注至固定 $K$ 的逐度同构。
• 对任意具有正维中心的约化群 $H$，构造光滑射影簇 $X$ 与 $H$-扭子 $P \to X$，使得 $X \to \mathrm{B}H$ 在上同调中诱导至度 $K$ 的同构。
• 利用光滑射影簇的上同调在度 $i$ 时为权重 $i$ 的纯上同调这一事实，并将其应用于谱序列 $H^i(\mathrm{B}G,\mathbb{Q}) \otimes H^j(G/B,\mathbb{Q}) \Rightarrow H^{i+j}(\mathrm{B}B,\mathbb{Q})$，以推导出纯性。
• 利用 [Ek09a] 中的上同调不变量，该不变量可检测光滑射影 $X$ 的 $H^*(X,\mathbb{Z})$ 的同构类，从而检测 $\widehat{K}_0$ 中 $[P] = [G][X]$ 的失效。

实验结果

研究问题

• RQ1 可否在固定度 $K$ 内，通过光滑射影簇在上同调中逼近具有正维中心的约化群 $H$ 的分类空间 $\mathrm{B}H$？
• RQ2 当 $G$ 为非特殊群时，代数 $G$-扭子在光滑射影簇上是否恒有 $[P] = [G][X]$ 在完成的格罗斯克罗夫林环 $\widehat{K}_0$ 中成立？
• RQ3 能否通过代数簇的格罗斯克罗夫林环检测线性代数群特殊性的拓扑障碍？
• RQ4 能否通过具有纯上同调的光滑射影簇逼近，几何地解释 $\mathrm{B}G$ 的有理上同调的纯性？
• RQ5 在 $\widehat{K}_0$ 中 $[P] = [G][X]$ 的失效是否意味着差值 $[P] - [G][X]$ 具有无限阶？

主要发现

• 对任意具有正维中心的约化群 $H$ 及任意整数 $K$，存在光滑射影簇 $X$ 与 $H$-扭子 $P \to X$，使得分类映射 $X \to \mathrm{B}H$ 在上同调中诱导至度 $K$ 的同构。
• 该逼近通过格拉斯曼流形 $\mathrm{Gr}(k,n+k)$ 上的代数扭子实现，当 $n \to \infty$ 时，这些流形成为 $\mathrm{BGL}_k(\mathbb{C})$ 的同伦逼近，且扭子结构在代数上保持不变。
• 对任意连通非特殊复线性代数群 $G$，存在 $G$-扭子 $P \to X$，其中 $X$ 为光滑射影簇，使得在 $\widehat{K}_0(\mathrm{Spc}_{\mathbb{C}})$ 中有 $[P] \neq [G][X]$，从而证明了格罗斯克罗夫林环中标准关系的失效。
• 差值 $[P] - [G][X]$ 在 $\widehat{K}_0$ 中具有无限阶，这是通过取值于无 torsion 阿贝尔群的加法不变量所证明，该不变量可检测 $G/B$-纤维丛的上同调非同构性。
• $X$ 上的 $G/B$-纤维丛的上同调不与 $G/B \times X$ 的上同调加法同构，这表明在此背景下分裂原理不成立。
• $H^*(\mathrm{B}G,\mathbb{Q})$ 的纯性可几何地解释：由于逼近簇具有纯上同调，且谱序列因权重原因而退化，因此 $\mathrm{B}G$ 的上同调继承了纯性。