[论文解读] Approximating Dominating Set on Intersection Graphs of Rectangles and L-frames

Sayan Bandyapadhyay, Anil Maheshwari+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2018

Advanced Graph Theory Research被引用 10

一句话总结

本论文提出了一种针对对角锚定矩形与L形图的最小支配集（MDS）问题的(2+ε)-近似算法，基于局部搜索的PTAS。关键贡献在于首次为这一非平凡的几何交集图子类提供了常数因子近似解，解决了关于锚定矩形的开放问题，此前该问题尚未有子对数时间复杂度的近似解。

ABSTRACT

We consider the Minimum Dominating Set (MDS) problem on the intersection graphs of geometric objects. Even for simple and widely-used geometric objects such as rectangles, no sub-logarithmic approximation is known for the problem and (perhaps surprisingly) the problem is NP-hard even when all the rectangles are "anchored" at a diagonal line with slope -1 (Pandit, CCCG 2017). In this paper, we first show that for any $\\epsilon>0$, there exists a $(2+\\epsilon)$-approximation algorithm for the MDS problem on "diagonal-anchored" rectangles, providing the first $O(1)$-approximation for the problem on a non-trivial subclass of rectangles. It is not hard to see that the MDS problem on "diagonal-anchored" rectangles is the same as the MDS problem on "diagonal-anchored" L-frames: the union of a vertical and a horizontal line segment that share an endpoint. As such, we also obtain a $(2+\\epsilon)$-approximation for the problem with "diagonal-anchored" L-frames. On the other hand, we show that the problem is APX-hard in case the input L-frames intersect the diagonal, or the horizontal segments of the L-frames intersect a vertical line. However, as we show, the problem is linear-time solvable in case the L-frames intersect a vertical as well as a horizontal line. Finally, we consider the MDS problem in the so-called "edge intersection model" and obtain a number of results, answering two questions posed by Mehrabi (WAOA 2017).

研究动机与目标

• 为对角锚定矩形的交集图上的最小支配集（MDS）问题开发一个常数因子近似算法，该问题属于一个非平凡子类，此前尚未知存在子对数时间复杂度的近似解。
• 将MDS近似解扩展至对角锚定L形图，证明在此设定下矩形与L形图变体的复杂度等价。
• 研究L形图与对角线或竖直线相交时MDS的计算复杂度，确立在某些配置下为APX-难问题。
• 解决关于L形图边交集模型的开放问题，特别是关于近似与难解性之间的差距。

提出的方法

• 设计一种基于局部搜索技术的(2+ε)-近似算法，以在对角线一侧实现对角锚定矩形的PTAS。
• 将问题简化为两个子问题，分别涉及锚定在对角线同一侧的矩形，每个子问题均可通过局部搜索求解。
• 构建一个平面二分图表示以分析局部搜索算法，即使存在几何穿刺问题，仍能保证PTAS的性能。
• 通过将矩形替换为L形图并保持交集图不变，证明对角锚定矩形与对角锚定L形图的MDS问题等价。
• 通过从顶点覆盖问题的归约，证明L形图与对角线或竖直线相交时MDS问题的APX-难性，确立其不可近似性。
• 通过从边支配集问题的归约构造一个差距引入归约，表明在边交集模型中存在约1.1377的常数因子不可近似性差距。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管该问题为NP难问题，是否仍可为对角锚定矩形的MDS问题实现常数因子近似？
• RQ2 对角锚定L形图的MDS问题与对角锚定矩形的MDS问题在复杂度上是否等价？
• RQ3 当L形图与对角线相交或其水平线段与竖直线相交时，MDS问题是否为APX-难？
• RQ4 对于与竖直线和水平线均相交的L形图，MDS问题的最佳可能近似比是多少？
• RQ5 在L形图交集图的边交集模型中，是否可建立常数因子不可近似性差距？

主要发现

• 为对角锚定矩形的MDS问题提出了一种(2+ε)-近似算法，这是该非平凡子类中首个O(1)近似解。
• 由于其交集图的等价性，相同的(2+ε)-近似解可推广至对角锚定L形图。
• 证明当L形图与对角线相交，或其水平线段与竖直线相交时，MDS问题为APX-难。
• 当L形图与竖直线和水平线均相交时，问题可在O(n)时间内求解，表明该情况为可有效求解的特殊情况。
• 通过从边支配集问题的保差距归约，表明区分大小小于(2−p+ε)n与大于(2−q−ε)n的支配集是NP难的，该差距在最优p下趋近于≈1.1377。
• 本论文解决了Mehrab（WAOA 2017）提出的关于L形图边交集模型的两个开放问题。