[论文解读] Approximating fixed points of enriched nonexpansive mappings by Krasnoselskij iteration in Hilbert spaces

Vasile Berinde|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2019

Optimization and Variational Analysis参考文献 44被引用 5

一句话总结

本文在希尔伯特空间中引入了增强型非扩张映射这一新类，通过涉及输入差与输出差线性组合的参数化不等式，扩展了非扩张映射。研究建立了Krasnoselskij迭代逼近不动点的强收敛与弱收敛定理，推广了Browder和Petryshyn的经典结果，并在更广泛的框架下统一了各种压缩型映射。

ABSTRACT

Using the technique of enrichment of contractive type mappings by Krasnoselskij averaging, presented here for the first time, we introduce and study the class of {\it enriched nonexpansive mappings} in Hilbert spaces. In order to approximate the fixed points of enriched nonexpansive mappings we use the Krasnoselskij iteration for which we prove strong and weak convergence theorems. Examples to illustrate the richness of the new class of contractive mappings are also given. Our results in this paper extend some classical convergence theorems established by Browder and Petryshyn in [Browder, F. E., Petryshyn, W. V., {\it Construction of fixed points of nonlinear mappings in Hilbert space}, J. Math. Anal. Appl. {\bf 20} (1967), 197--228.] from the case of nonexpansive mappings to that of enriched nonexpansive mappings, thus including many other important related results from literature as particular cases.

研究动机与目标

• 在希尔伯特空间中引入并研究一类新映射，称为增强型非扩张映射，以推广非扩张映射。
• 解决非线性分析中的两个基本问题：该新类映射的不动点存在性及其逼近。
• 将Browder和Petryshyn关于非扩张映射的经典收敛定理，从非扩张映射推广至增强型非扩张映射。
• 通过证明该类映射包含非扩张、准非扩张、Lipschitz连续以及广义伪收缩映射，展示其丰富性与一般性。
• 在增强型非扩张映射的背景下，建立Krasnoselskij迭代的强收敛与弱收敛结果。

提出的方法

• 通过不等式 ||b(x−y)+Tx−Ty|| ≤ (b+1)||x−y||（其中 b ∈ [0,∞)）定义增强型非扩张映射，推广了非扩张条件。
• 采用Krasnoselskij迭代格式：x_{n+1} = (1−λ)x_n + λTx_n（λ ∈ (0,1)），用于逼近不动点。
• 证明在希尔伯特空间的有界、闭、凸子集中，增强型非扩张映射的不动点集非空、闭且凸。
• 在不动点集非空且映射有界的假设下，证明Krasnoselskij迭代的强收敛性。
• 当集合C有界、闭且凸时，证明迭代序列弱收敛于一个不动点。
• 运用单调性、凸性以及希尔伯特空间几何性质的技术，分析收敛行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 非扩张映射类是否可以被扩展，以包含更多一般化的压缩型映射，同时保持不动点存在性与迭代方案的收敛性？
• RQ2 在希尔伯特空间中，Krasnoselskij迭代是否对增强型非扩张映射实现强收敛与弱收敛至不动点？
• RQ3 增强型非扩张映射的新类与现有类（如准非扩张、坚定非扩张或伪收缩映射）之间有何关系？
• RQ4 通过Krasnoselskij平均化实现的增强技术，是否可用于统一或推广已知非线性映射的收敛结果？
• RQ5 增强型非扩张映射的不动点集具有怎样的结构与拓扑性质？

主要发现

• 在希尔伯特空间的有界、闭、凸子集上，每个增强型非扩张映射都存在不动点，且不动点集为凸集。
• 当不动点集非空且映射有界时，Krasnoselskij迭代 {x_{n+1} = (1−λ)x_n + λTx_n}（λ ∈ (0,1)）强收敛于一个不动点。
• 当定义域C有界、闭且凸时，即使不假设映射有界，Krasnoselskij迭代也弱收敛于一个不动点。
• 增强型非扩张映射类严格包含非扩张映射类，并包含所有具有足够小Lipschitz常数的准非扩张与Lipschitz连续映射。
• 映射 T(x) = 1/x 在 [1/2, 2] 上是 3/2-增强型非扩张映射，其唯一不动点为 x=1，说明该类映射的丰富性超越了标准非扩张映射。
• 结果推广了Browder和Petryshyn的经典收敛定理，将文献中许多已知结果作为特例包含在内。