[论文解读] Approximating Fixed Points of Nonexpansive Mappings by a Faster Iteration Process

Nazli Kadioglu, İsa Yıldırım|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2014

Optimization and Variational Analysis参考文献 8被引用 14

一句话总结

本文提出了一种新的迭代过程，用于在巴拿赫空间中逼近非扩张映射的不动点，其收敛速度优于Picard、Mann、Ishikawa、S-迭代和正规S-迭代过程。所提方法采用包含两个参数的三步迭代，且在一致凸巴拿赫空间中，于标准条件下建立了强收敛与弱收敛定理。

ABSTRACT

In this paper, we consider a new iteration process which is faster than all of Picard, Mann, Ishikawa and Agarwal et al. processes. We also prove some strong and weak convergence theorems for the class of nonexpansive mappings in Banach spaces.

研究动机与目标

• 开发一种比现有经典与现代方案更快的不动点逼近迭代过程。
• 解决在计算与数值应用中对更快收敛速度的需求。
• 在一般巴拿赫空间与一致凸巴拿赫空间中，为所提迭代建立强收敛与弱收敛定理。
• 在最小假设条件下证明收敛性，包括条件(A)与Opial型条件。
• 通过理论比较与数值证据，展示新过程在收敛速率上的优越性。

提出的方法

• 提出一种三步迭代格式：$ x_{n+1} = T y_n $，$ y_n = (1 - \alpha_n) z_n + \alpha_n T z_n $，$ z_n = (1 - \beta_n) x_n + \beta_n T x_n $，其中 $ \alpha_n, \beta_n \in (0,1) $。
• 基于Berinde的定义，采用收敛速率概念，通过极限 $ \lim_{n \to \infty} \frac{|a_n - a|}{|b_n - b|} $ 比较序列。
• 应用Opial条件与半闭性性质，证明在一致凸巴拿赫空间中的弱收敛性。
• 利用一致凸巴拿赫空间的概念，确保弱序列紧致性与弱极限点的唯一性。
• 采用条件(A)——一个关联 $ \|x - Tx\| $ 与 $ d(x, F(T)) $ 的函数不等式——以建立强收敛性。
• 依赖于存在一个函数 $ f $，满足 $ f(0) = 0 $，$ f(r) > 0 $ 对所有 $ r > 0 $，使得 $ \|x - Tx\| \geq f(d(x, F(T))) $，从而推导出强收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种新的迭代过程，使其在非扩张映射下收敛速度优于Picard、Mann、Ishikawa、S-迭代与正规S-迭代过程？
• RQ2 在巴拿赫空间与映射满足何种条件下，可保证所提迭代的弱收敛或强收敛？
• RQ3 根据Berinde的定义，新过程的收敛速率与现有方案相比如何？
• RQ4 在何种条件下，迭代能实现强收敛，特别是当映射满足条件(A)时？
• RQ5 能否通过Opial条件或对偶映射证明所提过程在一致凸巴拿赫空间中收敛于唯一不动点？

主要发现

• 通过Berinde的收敛速率定义进行理论比较，证实所提迭代过程在压缩映射下收敛速度优于Picard、Mann、Ishikawa、S-迭代与正规S-迭代过程。
• 在满足Opial条件的一致凸巴拿赫空间中，由新过程生成的序列 $ \{x_n\} $ 弱收敛于映射 $ T $ 的不动点。
• 在条件(A)下，即使不假设紧致性或半紧性，迭代仍可强收敛于 $ T $ 的不动点。
• 建立了极限 $ \lim_{n \to \infty} \|x_n - T x_n\| = 0 $，这是收敛至不动点的关键条件。
• 利用Opial条件与对偶映射，证明了弱序列极限的唯一性，表明所有弱极限点完全重合。
• 该过程独立于先前的方案，当 $ \beta_n = 0 $ 时退化为Picard过程，当 $ \alpha_n = \beta_n = 0 $ 时退化为正规S-迭代过程。