[论文解读] Approximating Graphic TSP by Matchings

Tobias Mömke, Ola Svensson|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2011

Advanced Graph Theory Research参考文献 22被引用 27

一句话总结

本文提出了一种新颖的框架，通过引入'可移除配对'来改进图形TSP及相关问题的近似算法。通过允许在构造欧拉多重图时同时进行边的添加与移除，该方法在图形TSP上实现了1.461的近似比，并证明了对于度数为3有界的且无爪图的图，Held-Karp松弛的整数规划间隙恰好为4/3。

ABSTRACT

We present a framework for approximating the metric TSP based on a novel use of matchings. Traditionally, matchings have been used to add edges in order to make a given graph Eulerian, whereas our approach also allows for the removal of certain edges leading to a decreased cost. For the TSP on graphic metrics (graph-TSP), the approach yields a 1.461-approximation algorithm with respect to the Held-Karp lower bound. For graph-TSP restricted to a class of graphs that contains degree three bounded and claw-free graphs, we show that the integrality gap of the Held-Karp relaxation matches the conjectured ratio 4/3. The framework allows for generalizations in a natural way and also leads to a 1.586-approximation algorithm for the traveling salesman path problem on graphic metrics where the start and end vertices are prespecified.

研究动机与目标

• 通过利用图形度量和新型基于匹配的技术，改进度量TSP的近似比。
• 弥合Held-Karp松弛在图形TSP上的已知上界（1.5）与猜想的下界（4/3）之间的差距。
• 开发一种可超越标准基于匹配的欧拉扩展框架的通用方法，通过允许边的移除以降低总成本。
• 证明2-点连通的子立方图存在一个生成欧拉多重图，其边数不超过4n/3 - 2/3，从而证实Boyd等人提出的猜想。
• 将该框架扩展至具有指定起点和终点顶点的旅行商路径问题（TSPP），实现1.586的近似比。

提出的方法

• 引入'可移除配对'的概念——即一组边，可在不破坏2-点连通图连通性的情况下被安全移除，同时仍能构造出欧拉多重图。
• 采用随机边选择过程：以1/3的概率添加边，并通过可移除配对移除部分边以减少总边数。
• 证明对于任意2-点连通图，所构造的欧拉多重图的边数至多为(4/3)|E| - (2/3)|R|，其中|R|为可移除配对的大小。
• 将该框架与Held-Karp线性规划松弛结合，利用LP解和最短路径距离来界定近似比。
• 对TSPP采用混合算法：在低畸变实例中使用主框架，在高畸变情况下使用经典倍增算法。
• 通过平衡两种算法的性能，优化最坏情况下的近似比，最终得到紧致界3 - √2 ≈ 1.5858。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否证明Held-Karp松弛在图形TSP上的整数规划间隙对于某一自然图类恰好为4/3？
• RQ2 在构造图形TSP的欧拉多重图时，是否可以通过边的移除（而不仅添加）来改进近似比？
• RQ3 能否在超越Christofides算法框架的前提下，实现优于1.5的图形TSP近似比？
• RQ4 该框架是否可扩展至具有固定起点和终点顶点的旅行商路径问题？可达到何种近似比？
• RQ5 该框架能否推广至一般度量？其主要瓶颈是什么？

主要发现

• 本文提出了一种图形TSP的1.461近似算法，优于Christofides算法长期保持的1.5上界。
• 对于2-点连通且度数为3有界或无爪图的图类，Held-Karp松弛的整数规划间隙恰好为4/3。
• 该框架证实了Boyd等人提出的猜想：每个2-点连通的子立方图均存在一个生成欧拉多重图，其边数不超过4n/3 - 2/3。
• 对于具有指定起点和终点顶点的图形度量上的旅行商路径问题，该算法的近似比至多为3 - √2 ≈ 1.5858。
• 该框架可推广至一般度量，但在这些设置中高效寻找大可移除配对仍是开放问题。
• 分析表明，最坏情况下的近似比出现在起点与终点之间的最短路径距离为(√2 - 1)倍顶点数时，这支撑了该界为紧致的结论。