[论文解读] Approximating Holant problems by winding

Colin McQuillan|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2013

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 5被引用 13

一句话总结

本文提出了一种用于具有奇偶性和非全等（NAE）约束的Holant问题的FPRAS（全多项式随机近似方案），该问题推广了计数汇-free定向的问题。本文引入了“可卷绕性”（windability）的概念，以刻画一类可通过马尔可夫链采样实现高效近似的函数类别。通过使用环路展开的规范路径和匹配门（matchgates）构造采样器，证明了三元函数的可卷绕性等价于可通过匹配门表达的函数。

ABSTRACT

We give an FPRAS for Holant problems with parity constraints and not-all-equal constraints, a generalisation of the problem of counting sink-free-orientations. The approach combines a sampler for near-assignments of "windable" functions -- using the cycle-unwinding canonical paths technique of Jerrum and Sinclair -- with a bound on the weight of near-assignments. The proof generalises to a larger class of Holant problems; we characterise this class and show that it cannot be extended by expressibility reductions. We then ask whether windability is equivalent to expressibility by matchings circuits (an analogue of matchgates), and give a positive answer for functions of arity three.

研究动机与目标

• 开发一种用于涉及奇偶性和非全等（NAE）约束的Holant问题的FPRAS，推广图中汇-free定向的计数问题。
• 定义并刻画一类新函数——“可卷绕函数”（windable functions）——其可通过马尔可夫链采样实现高效近似。
• 建立可卷绕性与通过匹配门表达之间的联系，尤其针对三元函数。
• 证明可卷绕函数类在可表达性归约下是极大的，表明其理论边界。

提出的方法

• 作者使用Jerrum和Sinclair提出的环路展开规范路径技术，为可卷绕函数的‘近似赋值’设计马尔可夫链采样器。
• 通过限制近似赋值的权重，确保马尔可夫链的混合时间是多项式时间，从而实现FPRAS。
• 通过涉及函数值及其补值的一组不等式系统，引入“可卷绕性”的概念。
• 通过将函数嵌入更高阶的偶数元函数并应用翻转变换，构建函数的匹配电路。
• 通过一系列代数与组合约化，证明三元函数中可卷绕性与匹配门可表达性的等价性。
• 该证明利用了匹配门的结构以及辅助图中完美匹配的性质，以建立等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有奇偶性和NAE约束的Holant问题能否通过全多项式随机近似方案（FPRAS）实现高效近似？
• RQ2 此类FPRAS存在的函数类的特征是什么？该类在可表达性归约下是否为极大类？
• RQ3 对于三元函数，可卷绕性是否等价于通过匹配门的可表达性？
• RQ4 环路展开技术能否推广至构造Holant问题中除特定已知情况外的高效采样器？

主要发现

• 对于问题#ParityNAE，存在FPRAS，该问题推广了图中汇-free定向的计数。
• 可卷绕函数类由一组涉及函数值及其补值的不等式系统刻画，确保存在多项式时间采样算法。
• 对于三元函数，可卷绕性等价于通过匹配门的可表达性，建立了代数性质与组合性质之间的结构联系。
• 可卷绕函数类无法通过可表达性归约进一步扩展，表明其定义了Holant问题中一个极大可 tractable 类。
• 可卷绕函数的匹配电路构造依赖于将其嵌入偶数元函数并应用翻转变换，该变换保持Holant值不变。