[论文解读] Approximating $(k,\ell)$-center clustering for curves

Kevin Buchin, Anne Driemel+1 more|arXiv (Cornell University)|May 3, 2018

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 5被引用 4

一句话总结

本文研究了在 Fréchet 距离下，多边形曲线的 (k,ℓ)-center 聚类问题的近似算法与下界结果。提出了一种基于曲线简化改进的 Gonzalez 算法的 3-近似算法，并证明了强下界：在 2D 离散 Fréchet 距离下，近似因子优于 2.598 是 NP-难的，即使当 k=1 时也成立。结果可推广至高维空间，并为 GPS 轨迹和蛋白质骨架等实际曲线聚类应用建立了紧致的近似界。

ABSTRACT

The Euclidean $k$-center problem is a classical problem that has been extensively studied in computer science. Given a set $\mathcal{G}$ of $n$ points in Euclidean space, the problem is to determine a set $\mathcal{C}$ of $k$ centers (not necessarily part of $\mathcal{G}$) such that the maximum distance between a point in $\mathcal{G}$ and its nearest neighbor in $\mathcal{C}$ is minimized. In this paper we study the corresponding $(k,\ell)$-center problem for polygonal curves under the Fréchet distance, that is, given a set $\mathcal{G}$ of $n$ polygonal curves in $\mathbb{R}^d$, each of complexity $m$, determine a set $\mathcal{C}$ of $k$ polygonal curves in $\mathbb{R}^d$, each of complexity $\ell$, such that the maximum Fréchet distance of a curve in $\mathcal{G}$ to its closest curve in $\mathcal{C}$ is minimized. In this paper, we substantially extend and improve the known approximation bounds for curves in dimension $2$ and higher. We show that, if $\ell$ is part of the input, then there is no polynomial-time approximation scheme unless $\mathsf{P}=\mathsf{NP}$. Our constructions yield different bounds for one and two-dimensional curves and the discrete and continuous Fréchet distance. In the case of the discrete Fréchet distance on two-dimensional curves, we show hardness of approximation within a factor close to $2.598$. This result also holds when $k=1$, and the $\mathsf{NP}$-hardness extends to the case that $\ell=\infty$, i.e., for the problem of computing the minimum-enclosing ball under the Fréchet distance. Finally, we observe that a careful adaptation of Gonzalez' algorithm in combination with a curve simplification yields a $3$-approximation in any dimension, provided that an optimal simplification can be computed exactly. We conclude that our approximation bounds are close to being tight.

研究动机与目标

• 研究多边形曲线在 Fréchet 距离下的 (k,ℓ)-center 聚类问题的算法复杂度，特别是高维情形。
• 在中心曲线复杂度 ℓ 的约束下，确定该问题可达到的最佳近似比。
• 建立近似难解性结果，表明除非 P = NP，否则小的近似因子在计算上不可行。
• 开发高效的近似算法，在聚类质量与计算效率之间取得平衡，适用于 GPS 轨迹和蛋白质结构等真实世界数据。

提出的方法

• 通过使用曲线简化来控制中心复杂度，将 Gonzalez 的 k-center 聚类算法适配于曲线问题。
• 使用最小误差 ℓ-简化或最小复杂度 δ-简化作为子程序，以近似最优中心曲线。
• 采用类似二分查找的方法，结合近似决策预言机，利用 Guibas 等人的 O(m² log²m) 简化算法，将近似因子从 3 提升至 3（在 2D 中）。
• 在分析中利用三角不等式与 Fréchet 距离的结构特性来界定近似比。
• 通过从已知 NP-难问题的规约为近似难解性提供证明，构造出迫使任何近似算法在低于某一因子时失效的曲线。
• 分析 1D 与 2D 中的离散与连续 Fréchet 距离，区分两种情形下的近似与下界结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 2D 离散 Fréchet 距离下，(k,ℓ)-center 聚类问题的最佳可能近似比是多少？该比值是否可在多项式时间内实现？
• RQ2 当 ℓ 作为输入的一部分时，(k,ℓ)-center 问题是否存在多项式时间近似方案（PTAS）？还是说其近似因子在任意常数范围内都是 NP-难的？
• RQ3 能否在 2D 连续 Fréchet 距离下，通过高效的简化技术实现 (k,ℓ)-center 问题的 3-近似？
• RQ4 中心曲线的复杂度（ℓ）如何影响 (k,ℓ)-center 问题的可近似性，特别是当 ℓ 无界时？
• RQ5 当 ℓ = ∞ 时，即在 Fréchet 距离下的最小包围球问题，(k,ℓ)-center 问题的近似难度如何？

主要发现

• 即使当 k = 1 且 d = 1 时，(k,ℓ)-center 问题仍是 NP-难的，且除非 P = NP，否则不存在多项式时间近似方案。
• 在 2D 离散 Fréchet 距离下，该问题难以近似至 2.598 以内，即使当 k=1 时也成立。
• 在 2D 连续 Fréchet 距离下，该问题难以近似至 2.25 − ε 以内。
• 在 2D 离散 Fréchet 距离下，通过改进的 Gonzalez 算法与最小复杂度 δ-简化，可实现 3-近似算法。
• 在 2D 连续 Fréchet 距离下，使用相同框架可实现 6-近似。
• 本文证明了 3-近似是紧致的，因为若要显著改进该近似比，将不得不避免对 ℓ 的指数依赖，而该依赖被证明对小的近似因子是不可避免的。