[论文解读] Approximating L^2 invariants of amenable covering spaces: A heat kernel approach

Józef Dodziuk, Varghese Mathai|ArXiv.org|Sep 6, 1996

Geometric and Algebraic Topology参考文献 9被引用 20

一句话总结

该论文通过基于“不感知边界”原理的热核方法，证明了在适当几何条件下，可约覆盖空间的 $L^2$ Betti 数可通过其基本覆盖的正规 exhaustion 的归一化 Betti 数来逼近。关键结果为：在合适的几何条件下，平均 Betti 数的极限等于 $L^2$ Betti 数，且在维度 ≤4 时，在较弱的上同调假设下等式成立。

ABSTRACT

In this paper, we prove that the L^2 Betti numbers of an amenable covering space can be approximated by the average Betti numbers of a regular exhaustion, under some hypotheses. We also prove that some L^2 spectral invariants can be approximated by the corresponding average spectral invariants of a regular exhaustion. The main tool which is used is a generalisation of the "principle of not feeling the boundary" (due to M. Kac), for heat kernels associated to boundary value problems.

研究动机与目标

• 通过热核技术建立可约伽罗瓦覆盖空间的 $L^2$ Betti 数的逼近定理。
• 研究正规 exhaustion 的归一化 Betti 数是否在极限下收敛于 $L^2$ Betti 数。
• 将“不感知边界”原理推广至具有受控几何的黎曼流形上的边界值问题。
• 证明在可约覆盖上，$L^2$-形式上拉普拉斯算子的积分态密度函数与边界条件（相对或绝对）无关。
• 为一个猜想提供证据：在所有可约覆盖上，归一化 Betti 数收敛于 $L^2$ Betti 数，且在维度 ≤4 时，在上同调有限性假设下给出证明。

提出的方法

• 推广了 M. Kac 提出的“不感知边界”原理在带边流形上热核中的应用。
• 将热核方法应用于基本覆盖 $\widehat{M}$ 的正规 exhaustion $\{D_k\}$ 上 $L^2$-形式上的拉普拉斯算子，分别考虑相对与绝对边界条件。
• 对 exhaustion 施加几何控制：相对等周比趋于零，法曲率张量一致有界，边界具有统一的柱状邻域。
• 依赖于谱密度函数 $N_j^{(k)}(\lambda)$ 及其在 $k \to \infty$ 时收敛于 $L^2$ 谱密度 $N_{j,\Gamma}(\lambda)$。
• 使用 zeta 函数正则化研究谱不变量的收敛性，其中 $\zeta(s, \Delta_p^{(k)} + \lambda)$ 在 $\Re(s) > n/2$ 的半平面内收敛于 $\zeta(s, \Delta_p + \lambda)$。
• 通过关系式 $F_p(\lambda) = G_{p+1}(\lambda)$ 证明，对于可约群，积分态密度函数与边界条件无关。

实验结果

研究问题

• RQ1 可约覆盖空间的 $L^2$ Betti 数能否通过正规 exhaustion 的归一化 Betti 数逼近？
• RQ2 在可约情形下，归一化 Betti 数的极限（绝对或相对）是否等于 $L^2$ Betti 数？
• RQ3 在可约覆盖上，$L^2$-形式上拉普拉斯算子的积分态密度函数是否与边界条件无关？
• RQ4 在何种条件下，$D_k$ 上拉普拉斯算子的 zeta 函数收敛于 $\widehat{M}$ 上的 $L^2$ zeta 函数？
• RQ5 在可约情形下，Novikov-Shubin 不变量与谱密度增长速率之间有何关系？

主要发现

• 对于可约伽罗瓦覆盖，归一化 Betti 数的上极限满足 $\limsup_{k\to\infty} \frac{\mathrm{vol}(M)}{\mathrm{vol}(D_k)} b^j(D_k, \partial D_k) \leq b_{(2)}^j(\widehat{M}, \Gamma)$，且当 $b_{(2)}^j = 0$ 时等号成立。
• 在维度 2 时，归一化 Betti 数收敛于 $L^2$ Betti 数的猜想无条件成立。
• 在维度 3 和 4 时，该猜想在假设 $\dim H^1(\widehat{M}) < \infty$ 下成立。
• 对于 $\Delta_j$ 的积分态密度函数与边界条件（相对或绝对）无关，由 $F_p(\lambda) = G_{p+1}(\lambda)$ 所示。
• $\zeta(s, \Delta_p^{(k)} + \lambda)$ 在 $\Re(s) > n/2$ 的紧子集上一致收敛于 $\zeta(s, \Delta_p + \lambda)$，当 $k \to \infty$ 时。
• 若谱密度满足 $\frac{\mathrm{vol}(M)}{\mathrm{vol}(D_k)}[N_j^{(k)}(\lambda) - N_j^{(k)}(0)] \leq C\lambda^{\beta_j}$，则第 $j$ 个 Novikov-Shubin 不变量满足 $\alpha_j(\widehat{M}) \geq \beta_j$，且主要猜想成立。