[论文解读] Approximating matrices and convex bodies through Kadison-Singer

Omer Friedland, Pierre Youssef|arXiv (Cornell University)|May 12, 2016

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 32被引用 3

一句话总结

本文提出了一种基于Kadison-Singer问题解的新型矩阵逼近方法，实现了与稳定秩成比例的子矩阵选择——消除了先前工作中存在的对数因子。该方法实现了具有相等权重的最优稀疏化，并完整解决了John分解中的接触点问题，得到一个具有O(n)/ε²个接触点的凸体，其在Banach-Mazur距离下以1+ε的精度逼近任意凸体。

ABSTRACT

We show that any $n imes m$ matrix $A$ can be approximated in operator norm by a submatrix with a number of columns of order the stable rank of $A$. This improves on existing results by removing an extra logarithmic factor in the size of the extracted matrix. Our proof uses the recent solution of the Kadison-Singer problem. We also develop a sort of tensorization technique to deal with constraint approximation problems. As an application, we provide a sparsification result with equal weights and an optimal approximate John's decomposition for non-symmetric convex bodies. This enables us to show that any convex body in $\mathbb{R}^n$ is arbitrary close to another one having $O(n)$ contact points and fills the gap left in the literature after the results of Rudelson and Srivastava by completely answering the problem. As a consequence, we also show that the method developed by Guédon, Gordon and Meyer to establish the isomorphic Dvoretzky theorem yields to the best known result once we inject our improvements.

研究动机与目标

• 消除矩阵逼近中列子集选择的对数因子。
• 开发一种具有相等列权重的稀疏化方法，优于现有的加权方法。
• 解决非对称凸体John分解中最小化接触点数的开放问题。
• 通过消除维数界中的对数因子，提供最优同构Dvoretzky定理。
• 统一并改进Rudelson与Srivastava在凸体逼近方面先前的结果。

提出的方法

• 利用Kadison-Singer问题的解，构造一个列数与稳定秩成比例的子矩阵，使其在算子范数下逼近原矩阵。
• 引入张量化技术，以处理矩阵与凸几何中的约束逼近问题。
• 通过一个具有O(srank(A)/ε²)个非零元素的对角矩阵D实施重加权，确保‖ADA* − AA*‖ ≤ ε‖A‖²。
• 将改进的矩阵逼近作为黑箱应用于Rudelson的框架，构造出一个具有O(n)/ε²个接触点的凸体H。
• 通过定理4.1，用基于稳定秩的界替代Rudelson中接触点数的对数因子。
• 将新逼近方法与Gordon及Guédon-Meyer的高斯过程不等式相结合，实现最优同构Dvoretzky定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否能够实现子矩阵大小与稳定秩匹配的矩阵逼近，而无需额外的对数因子？
• RQ2 是否可能在保持算子范数逼近的前提下，实现具有相等列权重的稀疏化？
• RQ3 凸体在Banach-Mazur距离下以1+ε的精度逼近任意给定凸体时，其最小接触点数是多少？
• RQ4 是否可以消除维数界中的额外对数因子，从而证明同构Dvoretzky定理？
• RQ5 如何系统性地将Kadison-Singer问题的解应用于凸几何与矩阵逼近问题？

主要发现

• 本文实现了大小为O(srank(A)/ε²)的子矩阵逼近，消除了先前结果中存在的对数因子。
• 提供了具有相等权重的稀疏化结果，其中对角矩阵D具有O(srank(A)/ε²)个非零元素，每个元素等于cε²‖A‖²/κ²（当A = κ~A时）。
• 对于ℝⁿ中的任意凸体K，存在一个至多具有Cn/ε²个接触点的凸体H，使得H ⊂ K ⊂ (1+ε)H，从而解决了Rudelson与Srivastava结果之间长期存在的差距。
• 该方法实现了最优同构Dvoretzky定理，表明对于任意k ≤ cn，存在K的一个k维截面，其与欧氏球的距离不超过C√(k / ln(1+n/k))，且不包含额外的对数因子。
• 证明技术基于用定理4.1替代Rudelson的结果，表明在使用改进的矩阵逼近时，接触点数中的对数因子是不必要的。
• 结果表明，稳定秩是矩阵逼近中子矩阵大小的正确度量，因为它准确捕捉了矩阵作用的有效维度。