[论文解读] Approximating multicut and the demand graph

Chandra Chekuri, Vivek Madan|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 2017

Complexity and Algorithms in Graphs被引用 11

一句话总结

本文提出了一种针对无向 Multicut 问题的 2-近似算法，当需求图排除大小为 t 的诱导匹配时，该算法在 n^O(t) 时间内运行，其方法是通过约化到均匀度量标记问题，而非依赖于流-割间隙。与此相反，在唯一游戏假设（Unique Games Conjecture）下，本文证明对于具有固定需求图的有向 Multicut 问题，不存在比最坏情况流-割间隙更优的近似算法，并展示了当需求图排除某些诱导子图时，存在 k-近似算法，从而推广了有向多路切割（multiway cut）的结果。

ABSTRACT

In the minimum Multicut problem, the input is an edge-weighted supply graph G = (V, E) and a demand graph H = (V, F). Either G and H are directed (Dir-MulC) or both are undirected (Undir-MulC). The goal is to remove a minimum weight set of supply edges E' ⊆ E such that in G − E' there is no path from s to t for any demand edge (s, t) ∈ F. Undir-MulC admits O(log k)-approximation where k is the number of edges in H while the best known approximation for Dir-MulC is min{k, O(|V|11/23)}. These approximations are obtained by proving corresponding results on the multicommodity flow-cut gap. In this paper we consider the role that the structure of the demand graph plays in determining the approximability of Multicut. We obtain several new positive and negative results.In undirected graphs our main result is a 2-approximation in nO(t) time when the demand graph excludes an induced matching of size t. This gives a constant factor approximation for a specific demand graph that motivated this work, and is based on a reduction to uniform metric labeling and not via the flow-cut gap.In contrast to the positive result for undirected graphs, we prove that in directed graphs such approximation algorithms can not exist. We prove that, assuming the Unique Games Conjecture (UGC), that for a large class of fixed demand graphs Dir-MulC cannot be approximated to a factor better than the worst-case flow-cut gap. As a consequence we prove that for any fixed k, assuming UGC, Dir-MulC with k demand pairs is hard to approximate to within a factor better than k. On the positive side, we obtain a k approximation when the demand graph excludes certain graphs as an induced subgraph. This generalizes the known 2 approximation for directed Multiway Cut to a larger class of demand graphs.

研究动机与目标

• 研究需求图的结构特性如何影响 Multicut 问题的可近似性。
• 通过利用需求图上的特定结构约束，开发 Multicut 问题的改进近似算法。
• 在唯一游戏假设下，为具有固定需求图的有向 Multicut 问题建立紧致的不可近似性下界。
• 将已知结果（如有向多路切割的 2-近似）推广到更广泛的需求图类别。

提出的方法

• 当需求图排除大小为 t 的诱导匹配时，将无向 Multicut 问题约化为均匀度量标记问题。
• 通过在需求图的结构上应用动态规划方法，在 n^O(t) 时间内实现 2-近似。
• 利用唯一游戏假设，为具有固定需求图的有向 Multicut 问题证明不可近似性下界。
• 识别出可实现 k-近似算法的禁止诱导子图，从而推广多路切割结果。
• 分析多商品流-割间隙与需求图结构之间的关系，但其主要正向结果不依赖于该分析。
• 应用结构图论，刻画出可实现常数因子近似算法的需求图类别。

实验结果

研究问题

• RQ1 通过限制需求图的结构，能否改进 Multicut 问题的可近似性？
• RQ2 需求图的何种结构特性能够使无向 Multicut 问题实现常数因子近似算法？
• RQ3 在唯一游戏假设下，具有固定需求图的有向 Multicut 问题的紧致不可近似性下界是什么？
• RQ4 有向多路切割的 2-近似结果能否推广到更广泛的需求图类别？
• RQ5 诱导匹配或其他子图的存在如何影响流-割间隙与近似困难性？

主要发现

• 当需求图排除大小为 t 的诱导匹配时，无向 Multicut 问题在 n^O(t) 时间内可实现 2-近似算法。
• 该近似结果通过约化到均匀度量标记问题获得，而非依赖于流-割间隙分析。
• 在唯一游戏假设下，对于一大类具有固定有向需求图的 Multicut 问题，不存在比最坏情况流-割间隙更优的近似算法。
• 对于任意固定的 k，具有 k 个需求对的有向 Multicut 问题在唯一游戏假设下无法实现优于 k 的近似因子。
• 当需求图排除某些诱导子图时，有向 Multicut 问题可实现 k-近似算法，从而推广了多路切割结果。
• 需求图的结构约束被证明在决定无向与有向情形下 Multicut 问题的可近似性方面起决定性作用。