[论文解读] Approximating Persistent Homology for Large Datasets

Yueqi Cao, Anthea Monod|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2022

Topological and Geometric Data Analysis被引用 4

一句话总结

本文提出使用自举子采样方法，以近似计算大规模数据集的持久同调，其中直接计算不可行。通过计算多个子样本的持久图的均值，该方法提供了对真实持久图的统计有效且收敛的近似，其收敛速率通过随机集理论中的弗雷chet均值和Wasserstein稳定性推导得出。

ABSTRACT

Persistent homology is an important methodology in topological data analysis which adapts theory from algebraic topology to data settings. Computing persistent homology produces persistence diagrams, which have been successfully used in diverse domains. Despite its widespread use, persistent homology is simply impossible to compute when a dataset is very large. We study a statistical approach to the problem of computing persistent homology for massive datasets using a multiple subsampling framework and extend it to three summaries of persistent homology: Hölder continuous vectorizations of persistence diagrams; the alternative representation as persistence measures; and standard persistence diagrams. Specifically, we derive finite sample convergence rates for empirical means for persistent homology and practical guidance on interpreting and tuning parameters. We validate our approach through extensive experiments on both synthetic and real-world data. We demonstrate the performance of multiple subsampling in a permutation test to analyze the topological structure of Poincaré embeddings of large lexical databases.

研究动机与目标

• 解决在超大规模数据集上持久同调计算不可行的问题。
• 通过子采样开发真实持久图的统计有效近似。
• 建立子采样持久图均值对真实持久测度的有限样本收敛速率。
• 通过返回持久图而非向量化形式，保持结果的可解释性。
• 将拓扑数据分析的应用范围扩展至大规模真实世界数据，包括点云和度量空间。

提出的方法

• 通过从大规模数据集中抽取多个较小的子样本，适配经典自举法。
• 为每个子样本计算持久图，并将其均值作为均值持久测度。
• 在Wasserstein距离下，利用持久图空间中的弗雷chet均值定义均值。
• 结合持久图的凸性与稳定性性质，以及随机集理论，推导收敛边界。
• 采用偏差-方差分解控制近似误差，并指导子样本大小与数量的选择。
• 使用合成数据和真实数据（包括大规模点云上的形状聚类）验证结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 子样本持久图的均值能否一致地近似大规模数据集的真实持久图？
• RQ2 均值持久图对真实持久测度的有限样本收敛速率是多少？
• RQ3 子样本大小与子样本数量的选择如何影响近似误差？
• RQ4 该方法能否在实现可扩展的拓扑分析的同时保持可解释性？
• RQ5 该方法是否可推广至非欧几里得数据类型，如有限度量空间和加权图？

主要发现

• 从子样本计算出的均值持久图以可量化的速率收敛至真实持久图，其显式边界通过随机集理论推导得出。
• 该方法在最优部分传输距离下实现收敛，对偏差与方差分量具有理论保证。
• 通过返回持久图而非向量化形式，该方法保持了可解释性，避免了有损向量化。
• 在合成数据和真实数据（包括'Knot'、'Lock'、'Bearing'和'Motor'点云）上的实证验证，证实了其在形状聚类任务中的优异性能。
• 该方法在一般有限度量空间和加权图上表现良好，表明其在欧几里得点云之外也具有潜在的广泛适用性。
• 该框架使原本因规模过大而无法直接计算持久同调的数据集得以实现实际的拓扑分析。