[论文解读] Approximating regions of attraction of a sparse polynomial differential system *

Didier Henrion, Matteo Tacchi+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 2019

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 18被引用 11

一句话总结

该论文提出了一种基于Lasserre矩-SOS层级的凸优化框架，用于计算稀疏多项式常微分方程（ODE）在有限时间内的吸引域（ROA）的外逼近，从而实现大规模电力系统稳定性的可处理分析。通过利用稀疏性结构，该方法降低了计算复杂度，同时提供了数值上可认证的逼近结果，在最多20维的Van der Pol振子链系统上实现了在12次多项式阶次下的收敛。

ABSTRACT

Motivated by stability analysis of large scale power systems, we describe how the Lasserre (moment-sums of squares, SOS) hierarchy can be used to generate outer approximations of the region of attraction (ROA) of sparse polynomial differential systems, at the price of solving linear matrix inequalities (LMI) of increasing size. We identify specific sparsity structures for which we can provide numerically certified outer approximations of the region of attraction in high dimension. For this purpose, we combine previous results on non-sparse ROA approximations with sparse semi-algebraic set volume computation.

研究动机与目标

• 开发一种计算上可处理的方法，用于逼近在电力系统稳定性分析中出现的大规模稀疏多项式ODE的吸引域（ROA）。
• 将Lasserre矩-SOS层级扩展至稀疏系统，通过凸优化实现有限时间ROA的外逼近。
• 通过利用动力学中的稀疏性和半代数集结构，提供高维系统中ROA的数值可认证外逼近。
• 通过将ROA估计重新表述为凸线性矩阵不等式（LMI）问题，克服基于李雅普诺夫方法中非凸双线性SOS公式的局限性。
• 在高维系统（如耦合的Van der Pol振子链）上验证该方法，展示其可扩展性和实际可行性。

提出的方法

• 该方法利用Lasserre矩-SOS层级，通过求解逐阶升高的线性矩阵不等式（LMI）序列，生成有限时间ROA的外逼近序列。
• 通过将多项式ODE结构化为弱耦合子系统的链式结构，利用系统动力学中的稀疏性。
• 该方法将非稀疏ROA逼近技术与稀疏半代数集体积计算相结合，以降低计算负担，同时保持精度。
• 通过使用带结构稀疏性的SOS证书，将基于占用测度的有限时间ROA表征问题对偶化为凸LMI问题。
• 该方法采用原始-对偶框架，其中对偶问题生成基于SOS的证书，从而定义ROA的外逼近。
• 数值实现采用YALMIP和MOSEK完成，决策变量被高效声明与求解，即使在高维系统（如20维）中亦可实现。

实验结果

研究问题

• RQ1 Lasserre矩-SOS层级能否被调整，以在稀疏多项式ODE中提供有限时间吸引域的数值可认证外逼近？
• RQ2 如何利用系统动力学中的稀疏性来降低高维系统中ROA逼近的计算复杂度？
• RQ3 所提出的基于凸LMI的方法在可扩展性和计算可行性方面是否优于传统非凸双线性SOS公式化方法，尤其针对大规模电力系统？
• RQ4 尽管与非稀疏情况相比失去了收敛性证明，该方法在稀疏系统中生成的外逼近在多大程度上能收敛到真实的ROA？
• RQ5 该方法能否有效应用于实际电力系统模型，如弱耦合的Van der Pol振子链？

主要发现

• 该方法成功计算了20维弱耦合Van der Pol振子链的有限时间ROA外逼近，并在12次多项式阶次下实现收敛。
• 在12次阶次下，计算耗时约23分钟，其中11.5分钟用于变量声明，10.75分钟用于使用MOSEK求解SDP。
• 在12次阶次下的稀疏逼近在形状和大小上与密集逼近非常接近，表明在此参数范围内稀疏性并未显著降低精度。
• 外逼近显示出与标准Van der Pol振子相比被扰动的ROA形状，反映了弱耦合项的影响。
• 该方法展示了对高维系统（n=20）的可扩展性，而标准矩-SOS方法在此类系统中计算上不可行。
• 结果对未来在含网络化多机电力系统和含并网型变流器的暂态稳定性评估中的应用具有积极意义。