[论文解读] Approximating Ruelle's linear response formula by shadowing methods

Angxiu Ni|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2020

Quantum chaos and dynamical systems被引用 6

一句话总结

本文证明了在混沌系统中，影子法近似了Ruelle线性响应公式的某一组成部分，当不稳定方向较少时，系统性误差保持较小；针对高维不稳定系统，推导出一个校正项以减少误差，从而提高敏感性分析的准确性。

ABSTRACT

Ruelle's linear response formula and shadowing methods are major options for sensitivity analysis of averaged objectives in chaotic systems. This paper shows that the shadowing method equals a part of Ruelle's linear response formula. Moreover, the systematic error of shadowing methods is typically small for systems with small ratio of unstable directions. For other cases, a correction term is given for reducing the error of shadowing methods.

研究动机与目标

• 阐明影子法与混沌动力系统中Ruelle线性响应公式之间的关系。
• 量化影子法在近似混沌系统敏感性时引入的系统性误差。
• 推导一个校正项，以减少在具有较多不稳定方向的系统中影子法的误差。
• 通过混合方法提高混沌系统中平均目标函数敏感性分析的准确性。

提出的方法

• 本文识别了Ruelle线性响应公式的一个组成部分与基于影子法的敏感性估计器之间的数学对应关系。
• 分析了影子法与完整Ruelle公式之间的差异，重点关注不稳定方向的贡献。
• 推导出一个校正项，以弥补影子法中缺失的贡献，特别是在具有多个不稳定方向的系统中。
• 该方法依赖于线性响应理论和影子轨迹分析，以量化并校正敏感性估计。
• 将校正项应用于基于影子法的敏感性计算，以提高其与真实Ruelle公式的契合度。

实验结果

研究问题

• RQ1 在混沌系统中，影子法与Ruelle线性响应公式之间有何关系？
• RQ2 当影子法应用于混沌系统时，其系统性误差的大小和来源是什么？
• RQ3 能否推导出一个校正项，以减少在具有多个不稳定方向的系统中影子法的误差？
• RQ4 与原始影子法相比，该校正项在多大程度上提高了敏感性估计的准确性？

主要发现

• 影子法近似了Ruelle线性响应公式的一个特定部分，建立了两种方法之间的直接数学联系。
• 当不稳定方向数量较少时，影子法的系统性误差通常较小。
• 在具有较多不稳定方向的系统中，误差变得显著，因此需要进行校正。
• 推导出的校正项能有效减少基于影子法的敏感性估计误差。
• 校正项使影子法能更好地近似完整的Ruelle公式，尤其是在高维不稳定流形中。