[论文解读] Approximating Semi-Matchings in Streaming and in Two-Party Communication

Christian Konrad, Adi Rosén|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2013

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 10被引用 9

一句话总结

本论文提出了用于近似二分图中半匹配问题的确定性流式处理与两方通信算法，实现单次遍历下 O(n^{(1−ε)/2})-近似，空间复杂度为 Õ(n^{1+ε})，以及 O(log n) 次遍历下 O(log n)-近似，空间复杂度为 Õ(n)。此外，本文建立了最优半匹配的分层分解结构，将其分解为最大匹配，从而改进了近似界，并将半匹配与经典匹配理论联系起来。

ABSTRACT

We study the communication complexity and streaming complexity of approximating unweighted semi-matchings. A semi-matching in a bipartite graph G = (A, B, E), with n = |A|, is a subset of edges S that matches all A vertices to B vertices with the goal usually being to do this as fairly as possible. While the term 'semi-matching' was coined in 2003 by Harvey et al. [WADS 2003], the problem had already previously been studied in the scheduling literature under different names. We present a deterministic one-pass streaming algorithm that for any 0 <= ε<= 1 uses space O(n^{1+ε}) and computes an O(n^{(1-ε)/2})-approximation to the semi-matching problem. Furthermore, with O(log n) passes it is possible to compute an O(log n)-approximation with space O(n). In the one-way two-party communication setting, we show that for every ε> 0, deterministic communication protocols for computing an O(n^{1/((1+ε)c + 1)})-approximation require a message of size more than cn bits. We present two deterministic protocols communicating n and 2n edges that compute an O(sqrt(n)) and an O(n^{1/3})-approximation respectively. Finally, we improve on results of Harvey et al. [Journal of Algorithms 2006] and prove new links between semi-matchings and matchings. While it was known that an optimal semi-matching contains a maximum matching, we show that there is a hierarchical decomposition of an optimal semi-matching into maximum matchings. A similar result holds for semi-matchings that do not admit length-two degree-minimizing paths.

研究动机与目标

• 设计空间高效的流式算法，以亚线性内存近似二分图中的半匹配问题。
• 分析在一维两方通信模型中计算半匹配近似的通信复杂度。
• 通过证明最优半匹配可被分解为最大匹配的分层结构，建立最优半匹配的结构性质。
• 通过利用度数最小化路径与路径翻转技术，改进半匹配问题的近似保证。
• 通过证明最优半匹配及某些非退化半匹配可分解为最大匹配的序列，建立半匹配理论与经典匹配理论之间的联系。

提出的方法

• 采用单次遍历的流式算法，维护一个避免长度为2的度数最小化路径的半匹配 S，以确保近似的结构稳定性。
• 在 A 侧顶点上应用递归划分策略，反复隔离出半匹配最大度数相对于最优解有界的子集。
• 基于顶点度数，将任意半匹配 S 分解为 d 个匹配 M₁,…,M_d，从而通过匹配理论进行分析。
• 利用如下事实：若半匹配 S 不包含长度为2的度数最小化路径，则存在一个常数比例的顶点可被隔离，使得其诱导子图在 S 中的度数至多为 d*。
• 通过递归构造顶点集 A_i 和半匹配 S_i，其中每个 S_i 限制在 A_i × B 上，且避免长度为2的度数最小化路径。
• 证明此类递归步骤的数量被限制在 O(log n) 内，从而相对于最优半匹配得到对数近似因子。

实验结果

研究问题

• RQ1 在一维流式处理算法中，空间使用与近似比之间存在何种权衡？
• RQ2 在一维两方通信模型中，计算半匹配非平凡近似需要多少通信量？
• RQ3 最优半匹配能否被分层分解为最大匹配？其结构上具有何种含义？
• RQ4 在两方模型中，通信量为 o(n) 时，可达到的最佳近似因子是什么？
• RQ5 度数最小化路径与最优半匹配的结构有何关联？能否用于改进近似算法？

主要发现

• 一种确定性单次遍历流式算法在任意 ε ∈ [0,1] 下，使用 Õ(n^{1+ε}) 空间，可实现 O(n^{(1−ε)/2})-近似。
• 在 O(log n) 次遍历下，仅使用 Õ(n) 空间即可实现 O(log n)-近似，显著提升了空间效率。
• 在一维两方通信模型中，任何实现 O(n^{1/((1+ε)c+1}))-近似的确定性协议，通信量需超过 cn 位。
• 提出了两种确定性协议：一种传输 n 条边，实现 O(√n)-近似；另一种传输 2n 条边，实现 O(n^{1/3})-近似。
• 最优半匹配可被分层分解为最大匹配的序列，且无长度为2的度数最小化路径的半匹配也具有相同性质。
• 避免长度为2的度数最小化路径的任何半匹配的最大度数，至多为最优半匹配最大度数的 ⌈log(n+1)⌉ 倍。