[论文解读] Approximating the Cubicity of Trees

Jasine Babu, Manu Basavaraju+3 more|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2014

Advanced Graph Theory Research参考文献 2被引用 3

一句话总结

该论文提出了首个针对树的立方度的常数因子近似算法，适用于随机化和确定性多项式时间。该算法采用树的递归分解与超立方体上的随机权重向量分配，实现了与最优维度相差常数因子的立方体表示，其中随机化算法在期望多项式时间内运行，而确定性版本则在不构造表示的情况下近似立方度。

ABSTRACT

Cubicity of a graph $G$ is the smallest dimension $d$, for which $G$ is a unit disc graph in ${\mathbb{R}}^d$, under the $l^\infty$ metric, i.e. $G$ can be represented as an intersection graph of $d$-dimensional (axis-parallel) unit hypercubes. We call such an intersection representation a $d$-dimensional cube representation of $G$. Computing cubicity is known to be inapproximable in polynomial time, within an $O(n^{1-ε})$ factor for any $ε>0$, unless NP=ZPP. In this paper, we present a randomized algorithm that runs in polynomial time and computes cube representations of trees, of dimension within a constant factor of the optimum. It is also shown that the cubicity of trees can be approximated within a constant factor in deterministic polynomial time, if the cube representation is not required to be computed. As far as we know, this is the first constant factor approximation algorithm for computing the cubicity of trees. It is not yet clear whether computing the cubicity of trees is NP-hard or not.

研究动机与目标

• 开发一种针对树的立方度的多项式时间近似算法，该参数衡量的是单位超立方体交集表示的最小维度。
• 提供一种随机化算法，计算树的立方体表示，其维度在最优维度的常数因子范围内。
• 证明树的立方度可在确定性多项式时间内以常数因子近似，即使不显式构造表示。
• 将内在维度假设的技巧扩展至立方度，尽管这两个参数在本质上存在根本差异。

提出的方法

• 该算法递归地将树分解为更小的子树，基于深度和距离阈值进行分层分解。
• 对于每个子树，使用一种随机过程为边分配权重向量，确保子树中非相邻顶点在至少一个维度上被分离。
• 随机权重分配利用了投影坐标差的 $ l^\infty $-范数导出的概率界，确保非相邻顶点对在交集图中不相连。
• 该算法对距离范围应用并集界，以限制分离所有非相邻顶点对的失败概率。
• 所用维度数设定为 $ 4(\lceil 22.77 \times \rho(T) \rceil + 2) $，其中 $ \rho(T) $ 为树的半径，确保获得常数因子近似。
• 该算法的确定性版本在不构造表示的情况下近似立方度，依赖于相同的结构分解与可计算的界。

实验结果

研究问题

• RQ1 树的立方度是否可在多项式时间内以常数因子近似？
• RQ2 是否存在一种随机化算法，可计算出树的立方体表示，其维度在最优维度的常数因子范围内？
• RQ3 树的立方度是否可在确定性多项式时间内以常数因子近似，即使不显式构造表示？
• RQ4 尽管两个参数本质上存在根本差异，从内在维度假设中获得的技术是否适用于立方度？

主要发现

• 随机化算法在期望多项式时间内计算出树的立方体表示，其维度至多为 $ 4(\lceil 22.77 \times \rho(T) \rceil + 2) $，该值在最优立方度的常数因子范围内。
• 随机权重分配的失败概率被限制在 0.33 以内，确保非相邻顶点对在至少一个维度上被分离的概率至少为 0.67。
• 权重分配步骤的期望重复次数至多为 $ 1/0.67 $，意味着该算法在期望情况下仅执行常数次迭代。
• 该算法的确定性版本在多项式时间内以常数因子近似树的立方度，而无需构造实际的立方体表示。
• 该算法的核心技术源自内在维度，经问题特定修改后适配至立方度，尽管两者在一般情况下不可比。
• 本文证明了计算树的立方度尚未被证明为 NP-难，且所提出的算法为此问题提供了首个常数因子近似。