[论文解读] Approximating the diameter of a graph

Liam Roditty, Virginia Vassilevska Williams|arXiv (Cornell University)|Jul 16, 2012

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 18被引用 4

一句话总结

本文提出了一种确定性算法，可在 Õ(m²⁻¹⁄⁽²ʰ⁺³⁾) 时间内近似计算无权图的直径，适用于直径 D = 3h + z 的图，实现 (2h + z)-近似。该算法通过利用顶点出度阈值和有针对性的BFS计算，优于以往的 Õ(m√n + n²) 方法，并提供了强有力的证据表明，若能在亚二次时间实现更优的近似，则将与强指数时间假设（Strong Exponential Time Hypothesis）矛盾。

ABSTRACT

In this paper we consider the fundamental problem of approximating the diameter $D$ of directed or undirected graphs. In a seminal paper, Aingworth, Chekuri, Indyk and Motwani [SIAM J. Comput. 1999] presented an algorithm that computes in $\Ot(m\sqrt n + n^2)$ time an estimate $\hat{D}$ for the diameter of an $n$-node, $m$-edge graph, such that $\lfloor 2/3 D floor \leq \hat{D} \leq D$. In this paper we present an algorithm that produces the same estimate in $\Ot(m\sqrt n)$ expected running time. We then provide strong evidence that a better approximation may be hard to obtain if we insist on an $O(m^{2-\eps})$ running time. In particular, we show that if there is some constant $\eps>0$ so that there is an algorithm for undirected unweighted graphs that runs in $O(m^{2-\eps})$ time and produces an approximation $\hat{D}$ such that $ (2/3+\eps) D \leq \hat{D} \leq D$, then SAT for CNF formulas on $n$ variables can be solved in $O^{*}((2-δ)^{n})$ time for some constant $δ>0$, and the strong exponential time hypothesis of [Impagliazzo, Paturi, Zane JCSS'01] is false. Motivated by this somewhat negative result, we study whether it is possible to obtain a better approximation for specific cases. For unweighted directed or undirected graphs, we show that if $D=3h+z$, where $h\geq 0$ and $z\in {0,1,2}$, then it is possible to report in $ ilde{O}(\min{m^{2/3} n^{4/3},m^{2-1/(2h+3)}})$ time an estimate $\hat{D}$ such that $2h+z \leq \hat{D}\leq D$, thus giving a better than 3/2 approximation whenever $z eq 0$. This is significant for constant values of $D$ which is exactly when the diameter approximation problem is hardest to solve. For the case of unweighted undirected graphs we present an $ ilde{O}(m^{2/3} n^{4/3})$ time algorithm that reports an estimate $\hat{D}$ such that $\lfloor 4D/5 floor \leq \hat{D}\leq D$.

研究动机与目标

• 设计一种更快的算法，用于近似稀疏无权图的直径，尤其当图的直径较小时。
• 改进 Aingworth 等人算法在直径近似中的 Õ(m√n + n²) 时间复杂度。
• 探究高效直径近似算法的极限，特别是亚二次时间算法是否能实现优于 3/2-近似的性能。
• 提供条件性下界，表明若能在亚二次时间内实现更优近似，则意味着在 CNF-SAT 复杂度上取得突破。

提出的方法

• 算法选择一组高出度顶点（出度 ≥ Δ）以减少BFS计算次数。
• 在 O(m) 时间内计算 H 中所有顶点的出边BFS，以及通过超级源点计算到 H 的入边距离。
• 选择距离 H 最远的顶点 w，并计算其出边BFS树以估计直径。
• 随后，计算 w 的BFS树中深度有限范围内的顶点的入边BFS树，以进一步优化估计值。
• 使用参数 Δ = m¹⁄⁽²ʰ⁺³⁾ 来平衡从 H 和从BFS树顶点出发的BFS计算时间。
• 最终估计值为所有计算出的BFS树中的最大深度，确保直径的下界至少为 2h + z。

实验结果

研究问题

• RQ1 无权图的直径能否在亚二次时间内实现优于 2/3D 的近似？
• RQ2 是否存在一种确定性算法，能在 Õ(m²⁻¹⁄⁽2h+3）时间内实现对直径 D = 3h + z 的图的 (2h + z)-近似？
• RQ3 在 O(m²⁻ε) 时间内实现 (3/2 − ε)-近似的条件性困难极限是什么？
• RQ4 若存在更快的直径近似算法，是否可推翻强指数时间假设？

主要发现

• 所提算法在 Õ(m²⁻¹⁄⁽2h+3）的期望时间内运行，并返回满足 2h + z ≤ D̂ ≤ D 的估计值 D̂，适用于直径 D = 3h + z 的图。
• 当常数直径 D = 3h + z 时，若 z ≠ 0，该算法可实现优于 3/2 的近似，优于以往工作的 2/3D 下界。
• 该算法在 Õ(m²⁄³n⁴⁄³) 时间内可实现无权无向图的 (4/5)D 近似，优于该类图的 2/3D 下界。
• 本文表明，若存在 O(m²⁻ε) 时间内实现无向无权图 (3/2 − ε)-近似的算法，则意味着可构造出 CNF-SAT 的亚指数时间算法，与强指数时间假设矛盾。
• 通过设置 Δ = m¹⁄⁽2h+3），算法运行时间被最小化至 Õ(m²⁻¹⁄⁽2h+3），平衡了从 H 和从BFS树顶点出发的BFS计算成本。
• 该方法为确定性算法，无需使用快速矩阵乘法，因此在稀疏图上具有实际可行性。