[论文解读] Approximating the Euclidean circle in the square grid using neighbourhood sequences

J. Farkas, Szabolcs Baják+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 17, 2010

Digital Image Processing Techniques参考文献 8被引用 7

一句话总结

本文提出一种方法，通过邻域序列在方形网格上近似欧几里得圆，将数字圆盘建模为内角为135°的八边形。评估了六种近似策略——周长、面积、内切/外接圆、最小二乘法和最小距离——提供了闭式公式及基于整数的参数（k₁, k₂），以生成任意实数半径（包括非整数值如 r = 50.7）下的最优邻域序列。

ABSTRACT

Distance measuring is a very important task in digital geometry and digital image processing. Due to our natural approach to geometry we think of the set of points that are equally far from a given point as a Euclidean circle. Using the classical neighbourhood relations on digital grids, we get circles that greatly differ from the Euclidean circle. In this paper we examine different methods of approximating the Euclidean circle in the square grid, considering the possible motivations as well. We compare the perimeter-, area-, curve- and noncompactness-based approximations and examine their realization using neighbourhood sequences. We also provide a table which summarizes our results, and can be used when developing applications that support neighbourhood sequences.

研究动机与目标

• 通过使用邻域序列而非固定的4-或8-邻域，改进方形网格上数字圆的近似效果。
• 通过支持任意非负实数半径的近似，解决先前研究仅考虑整数半径的局限性。
• 比较多种几何描述符——周长、面积、曲线性和非紧凑性——以实现最优数字圆近似。
• 提供一种实用的基于公式的邻域序列生成方法，以最小化形状与欧几里得圆的偏差。
• 通过提供系统化的数字圆盘生成框架，支持图像处理中的应用，如距离变换和基于颜色的分割。

提出的方法

• 使用广义的二维邻域序列（由1和2组成的无限序列）定义路径式距离计算中的可变步长。
• 将数字圆盘建模为具有135°内角的八边形凸包，其来源于序列的周期性以及1和2的频率。
• 基于半径 r 和近似方法，利用几何与三角关系推导出八边形边长的解析表达式。
• 应用等周比（P²/A）及其他形状描述符评估近似质量，目标是使与欧几里得圆的偏差最小化。
• 通过四舍五入公式计算整数参数 k₁ 和 k₂（1步和2步的数量），确保生成的序列产生与目标圆接近的数字圆盘。
• 通过数值表格（如表5）验证结果，该表格将半径 r 映射到每种近似方法下的 k₁ 和 k₂，支持在软件中直接实现。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用邻域序列生成在方形网格上最接近欧几里得圆的数字圆盘？
• RQ2 在给定半径下，周长、面积、内切圆、外接圆、最小二乘法或最小距离等几何描述符中，哪一种能提供最精确的近似？
• RQ3 能否为任意非整数半径（如 r = 50.7）计算出最优邻域序列，而不仅限于整数半径？
• RQ4 在不同近似准则下，所得八边形单位数字圆盘的边长是否存在闭式表达式？
• RQ5 对于每种近似方法，邻域序列中所需的1步数（k₁）和2步数（k₂）如何随半径 r 变化？

主要发现

• 本文为六种不同近似准则下的近似八边形边长 a 提供了精确的解析公式，其表达式为半径 r 的函数。
• 对于半径 r = 50.7，基于周长的方法得到 k₁ = 40 且 k₂ = 29，生成的数字圆盘周长接近欧几里得圆的周长。
• 基于面积和最小二乘法的近似得到几乎相同的边长（a ≈ 0.8066r 和 a ≈ 0.8069r），表明不同方法间具有高度一致性。
• 内切圆近似给出最大的边长（a ≈ 0.8284r），反映出为完全包含欧几里得圆而需要更大的八边形。
• 外接圆近似给出最小的边长（a ≈ 0.7654r），确保数字圆盘完全包围欧几里得圆。
• 该方法通过使用表5中 k₁ 和 k₂ 的四舍五入公式，能够为任意实数半径 r（而不仅限于整数）计算最优邻域序列，从而扩展了先前的研究成果。