[论文解读] Approximating the first $L^2$-betti number of residually finite groups

Wolfgang Lück, Denis Osin|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2010

Geometric and Algebraic Topology参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文利用有限指数正规子群的普通第一贝蒂数，建立了有限生成剩余有限群的第一 $L^2$-贝蒂数的下界。证明了 $L^2$-贝蒂数至少为嵌套的有限指数正规子群序列的比值 $b_1(N_i)/[G:N_i]$ 的上极限。关键贡献在于，对任意素数 $p$，构造出一个有限生成的无限剩余有限 $p$-群，其第一 $L^2$-贝蒂数为正，从而解决了关于扭群与 $L^2$-不变量的长期悬而未决的问题。

ABSTRACT

We show that the first $L^2$-betti number of a finitely generated residually finite group can be estimated from below by using ordinary first betti numbers of finite index normal subgroups. As an application we construct a finitely generated infinite residually finite torsion group with positive first $L^2$-betti number.

研究动机与目标

• 利用有限指数正规子群的普通贝蒂数，建立有限生成剩余有限群的第一 $L^2$-贝蒂数的下界。
• 研究 $L^2$-贝蒂数的逼近猜想是否对所有有限生成群成立，而不仅限于有限表示群。
• 解决无限剩余有限扭群是否存在正第一 $L^2$-贝蒂数的问题，该问题在几何群论的冯·诺伊曼型问题中具有核心地位。
• 证明逼近公式 $b_1^{(2)}(G) = \lim_{i\to\infty} b_1(N_i)/[G:N_i]$ 在扭群中一般不成立，尽管右边为零。

提出的方法

• 使用 $BG$ 的余上同调构造，将其视为有限表示逼近群 $G_j$ 的分类空间的无限映射柱，且具有相容的万有覆盖。
• 在包含所有剩余有限群的类 $\mathcal{G}$ 中应用 $L^2$-贝蒂数的逼近定理，将 $L^2$-同调与有限 $G$-CW 复形的余上同调联系起来。
• 构造嵌套的 $\mathrm{pro}$-$p$ 完善化序列 $\widehat{G}_k$，使其虚拟 $p$-亏并不断增加，确保 $\mathrm{vd}_p(G_k) > n-1-\varepsilon$。
• 通过向自由群 $F_n$ 的商群 $G_k$ 添加关系 $f_k^{p^n} = 1$，实现归纳构造，以在保持剩余 $p$-有限性的同时提高虚拟 $p$-亏并。
• 利用 $L^2$-贝蒂数在逆极限下的半连续性，推导出极限群 $Q$ 满足 $b_1^{(2)}(Q) \geq \limsup b_1^{(2)}(\widehat{G}_k) \geq n-1-\varepsilon$。
• 通过投影核上的字度量条件验证 $Q$ 的剩余有限性，确保非平凡元素在有限商群中被检测到。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用有限指数正规子群的普通第一贝蒂数，从下方估计有限生成剩余有限群的第一 $L^2$-贝蒂数？
• RQ2 逼近猜想 $b_1^{(2)}(G) = \lim_{i\to\infty} b_1(N_i)/[G:N_i]$ 是否对所有有限生成群成立，而不仅限于有限表示群？
• RQ3 是否存在无限剩余有限 $p$-群，其第一 $L^2$-贝蒂数为正，从而与拉肯比关于自由子群结果的潜在推广相矛盾？
• RQ4 对于扭群，是否成立反向不等式 $b_1^{(2)}(G) \leq \limsup b_1(N_i)/[G:N_i]$，尽管右边为零？

主要发现

• 任何有限生成剩余有限群的第一 $L^2$-贝蒂数满足 $b_1^{(2)}(G) \geq \limsup_{i\to\infty} b_1(N_i)/[G:N_i]$，其中 $\{N_i\}$ 为具有平凡交的嵌套有限指数正规子群序列。
• 对任意素数 $p$，存在一个有限生成的无限剩余有限 $p$-群 $Q$，使得对任意 $n \geq 2$ 和 $\varepsilon > 0$，有 $b_1^{(2)}(Q) \geq n-1-\varepsilon$，其中 $n$ 为生成元个数。
• 所构造的群 $Q$ 是一个扭 $p$-群，表明正 $L^2$-贝蒂数可在无限扭群中出现，这与拉肯比关于自由子群结果的潜在推广相矛盾。
• 通过选择适当的關係 $f_k^{p^n} = 1$，可使逼近群 $G_k$ 的虚拟 $p$-亏并 $\mathrm{vd}_p(G_k)$ 任意接近 $n-1$，从而确保 $L^2$-贝蒂数的下界。
• 由于 $L^2$-贝蒂数在逆极限下的半连续性，极限群 $Q$ 即使非有限表示，也能继承来自逼近群 $\widehat{G}_k$ 的下界 $b_1^{(2)}(Q) \geq n-1-\varepsilon$。
• 由于构造确保了每个字长为 $k$ 的非平凡元素在商群 $\widehat{G}_{k+1}/N_{k+1}$ 中被检测到，而该商群有限且为 $p$-有限，因此群 $Q$ 是剩余有限的。