[论文解读] Approximating the optimal competitive ratio for an ancient online scheduling problem

Lin Chen, Deshi Ye+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2013

Optimization and Search Problems参考文献 21被引用 7

一句话总结

该论文提出了一种针对经典在线调度问题 $P||C_{\text{max}}$ 的竞争比近似方案，其中作业按列表顺序到达并需实时调度。通过引入一种新颖的博弈论框架，将对手与在线算法建模为分层图中的交替移动，作者设计了一种动态规划方法，将最优竞争比近似至最佳可能值的 $ (1+\epsilon) $ 范围内，即使机器数量 $ m $ 作为输入时也能实现多项式时间性能。关键成果是获得了一个近乎最优的算法，其竞争比可任意接近理论最优值，显著缩小了已知上界 1.9201 与下界 1.88 之间的差距。

ABSTRACT

We consider the classical online scheduling problem P||C_{max} in which jobs are released over list and provide a nearly optimal online algorithm. More precisely, an online algorithm whose competitive ratio is at most (1+ε) times that of an optimal online algorithm could be achieved in polynomial time, where m, the number of machines, is a part of the input. It substantially improves upon the previous results by almost closing the gap between the currently best known lower bound of 1.88 (Rudin, Ph.D thesis, 2001) and the best known upper bound of 1.92 (Fleischer, Wahl, Journal of Scheduling, 2000). It has been known by folklore that an online problem could be viewed as a game between an adversary and the online player. Our approach extensively explores such a structure and builds up a completely new framework to show that, for the online over list scheduling problem, given any ε>0, there exists a uniform threshold K which is polynomial in m such that if the competitive ratio of an online algorithm is ρ<=2, then there exists a list of at most K jobs to enforce the online algorithm to achieve a competitive ratio of at least ρ-O(ε). Our approach is substantially different from that of Gunther et al. (Gunther et al., SODA 2013), in which an approximation scheme for online over time scheduling problems is given, where the number of machines is fixed. Our method could also be extended to several related online over list scheduling models.

研究动机与目标

• 弥合在线 $P||C_{\text{max}}$ 调度的竞争比已知上界（1.9201）与下界（1.88）之间长期存在的差距。
• 设计一种多项式时间算法，即使在机器数量 $ m $ 作为输入时，也能将最优竞争比近似至 $ (1+\epsilon) $ 范围内。
• 通过将问题建模为对手与在线算法之间的博弈，建立一种新的在线调度框架，实现对剪枝情景的动态规划。
• 将该方法扩展至基本 $P||C_{\text{max}}$ 问题之外的其他在线列表调度模型。

提出的方法

• 将在线调度过程建模为对手（发布作业）与在线算法（分配作业）之间的双人博弈，其中发布作业与分配作业的动作交替进行。
• 引入缩放与剪枝技术，通过缩放因子将所有作业大小减少为有限类，形成每台机器上的有限组“剪枝状态”。
• 将系统状态表示为“剪枝情景”——即所有机器上剪枝状态的元组，其不同情景的数量在 $ m $ 上为多项式。
• 在游戏的分层图表示上使用动态规划，其中每一层对应一个移动次数，以判断对手是否能在 $ O(\text{poly}(m)) $ 步内拥有必胜策略。
• 定义剪枝情景的“即时近似比”为若游戏在此状态结束时所达到的竞争比，并计算其误差不超过 $ O(\epsilon) $。
• 通过组合有界实例的最优算法 $ Al_B^* $ 与列表调度（LS）构造最终算法，形式为 $ Al_B^* \circ LS $，以确保全局竞争力。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ m $ 作为输入时，能否为 $ P||C_{\text{max}} $ 设计一种竞争比近似方案，实现与最优竞争比的 $ (1+\epsilon) $ 近似？
• RQ2 是否能够通过缩放与剪枝技术，将在线调度的无限状态空间缩减为有限且多项式规模的状态空间？
• RQ3 对手与算法交互的博弈论结构是否允许基于动态规划在多项式时间内计算最优策略？
• RQ4 组合算法 $ Al_B^* \circ LS $ 的竞争比是否可由 $ Al_B^* $ 在有界实例上的竞争比所界定？
• RQ5 如何利用该新框架有效缩小 $ P||C_{\text{max}} $ 已知上界 1.9201 与下界 1.88 之间的差距？

主要发现

• 该论文实现了对 $ P||C_{\text{max}} $ 的竞争比近似方案，时间复杂度为 $ O(m^{\Lambda}) $，其中 $ \Lambda = 2^{O(1/\epsilon^2 \log^2(1/\epsilon))} $，对于任意固定的 $ \epsilon > 0 $，该复杂度在 $ m $ 上为多项式。
• 所提算法的竞争比最多为最优在线算法竞争比的 $ (1+\epsilon) $ 倍，有效弥合了已知上界与下界之间的差距。
• 该方法通过缩放构建了有限的剪枝情景集合，确保仅需考虑 $ \text{poly}(m) $ 个不同配置，从而支持动态规划。
• 博弈论框架证明，对手仅需多项式数量的移动即可迫使高竞争比，使问题适用于动态规划。
• 组合 $ Al_B^* \circ LS $ 的竞争比与 $ Al_B^* $ 在有界实例上的竞争比相同，且该比值等于全局最优竞争比 $ \rho_{Al^*} $，从而证明了组合算法的最优性。
• 该方法可推广至其他在线列表调度模型，展示了其在基本 $ P||C_{\text{max}} $ 问题之外的广泛适用性。