[论文解读] Approximating the Packedness of Polygonal Curves

Joachim Gudmundsson, Yuan Sha+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Computational Geometry and Mesh Generation被引用 2

一句话总结

本文提出了两种近似算法，用于计算 ℝᵈ 中多边形曲线的最小 c 值，使其满足 c-packed 性质，采用基于立方体的 packedness 定义。第一种算法在 O(dn² log n) 时间内实现 2-近似；当 d=2 时，可在 O((n/ε³)^{4/3} polylog(n/ε)) 时间内实现更快的 (6+ε)-近似。在 16 个真实轨迹数据集上的实验验证了 c-packedness 是一种实用的输入模型。

ABSTRACT

In 2012 Driemel et al. [Anne Driemel et al., 2012] introduced the concept of c-packed curves as a realistic input model. In the case when c is a constant they gave a near linear time (1+ε)-approximation algorithm for computing the Fréchet distance between two c-packed polygonal curves. Since then a number of papers have used the model. In this paper we consider the problem of computing the smallest c for which a given polygonal curve in ℝ^d is c-packed. We present two approximation algorithms. The first algorithm is a 2-approximation algorithm and runs in O(dn² log n) time. In the case d = 2 we develop a faster algorithm that returns a (6+ε)-approximation and runs in O((n/ε³)^{4/3} polylog (n/ε))) time. We also implemented the first algorithm and computed the approximate packedness-value for 16 sets of real-world trajectories. The experiments indicate that the notion of c-packedness is a useful realistic input model for many curves and trajectories.

研究动机与目标

• 计算使给定 ℝᵈ 中多边形曲线满足 c-packed 性质的最小 c 值，以支持更优的算法性能分析。
• 设计高效的近似算法以实现 packedness 计算，避免精确方法带来的高复杂度。
• 评估真实轨迹是否对较小的、实际可用的 c 值满足 c-packedness 性质。
• 为曲线处理算法提供一种实用且理论基础坚实的输入模型。

提出的方法

• 采用基于立方体的 c-packedness 定义：对于任意边长为 r 的轴对齐立方体 S，曲线在 S 内的长度至多为 c·r。
• 使用改进的线段树作为主要数据结构，对空间进行分层分解。
• 对于线段树中的每个内部节点，维护相关数据结构，以高效估计查询立方体内曲线的长度。
• 应用几何划分与范围计数技术，包括 Agarwal 的 O(n^{4/3}) 时间算法，用于红蓝线段交点计数。
• 采用两级数据结构，利用 Type C 节点维护查询立方体内曲线长度的上界，确保在 2D 情况下实现 (6+ε)-近似。
• 实现 2-近似算法，并在 16 个真实轨迹数据集上进行评估。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否在亚立方时间内计算出使多边形曲线满足 c-packed 性质的最小 c？
• RQ2 c-packedness 模型在真实轨迹中是否具有实际相关性？
• RQ3 与通用的 d 维算法相比，能否在 2D 曲线中实现更快的 (6+ε)-近似？
• RQ4 与原始基于球体的定义相比，基于立方体的 c-packedness 定义在近似质量方面表现如何？
• RQ5 真实轨迹的实际 packedness 值是多少？该值是否支持将 c-packedness 视为一种现实可行的输入模型？

主要发现

• 本文提出了一种在 O(dn² log n) 时间内实现 2-近似的 c-packedness 算法，当 d ≥ 3 时，其时间复杂度为亚立方时间。
• 对于 2D 曲线，(6+ε)-近似算法的运行时间为 O((n/ε³)^{4/3} polylog(n/ε))，显著快于通用情况。
• 2-近似算法已实现并在 16 个真实轨迹数据集上测试，结果显示大多数轨迹对较小的 c 值满足 c-packed 性质。
• 实验结果表明，c-packedness 是一种实用且现实的轨迹数据输入模型。
• 基于立方体的 c-packedness 定义在 2D 情况下可实现 (6+ε)-近似，且近似因子由与 n 无关的常数所界定。
• 理论分析表明，该数据结构支持每次查询 O(log(n/ε²)) 的高效查询时间，总构造时间在 2D 情况下主要由 O((n/ε³)^{4/3} polylog(n/ε)) 主导。