[论文解读] Approximating the shortest path problem with scenarios

Adam Kasperski, Paweł Zieliński|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2018

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 29被引用 3

一句话总结

本文提出了在多个成本情景下，针对最小-最大最短路径和最小生成树问题的确定性近似算法。在有界度数或平面图中，最短路径问题的近似比为 $ O(\bigtriangledown{n\log K/\log\log K}) $，生成树问题的近似比为 $ O(\log n \log K / \log\log K) $；在一般图中，提出了一个随机化的 $ O(\log n) $-近似算法，优于先前的界。

ABSTRACT

This paper discusses the shortest path problem in a general directed graph with $n$ nodes and $K$ cost scenarios (objectives). In order to choose a solution, the min-max criterion is applied. The min-max version of the problem is hard to approximate within $Ω(\log^{1-ε} K)$ for any $ε>0$ unless NP$\subseteq ext{DTIME}(n^{ ext{polylog} \,n})$ even for arc series-parallel graphs and within $Ω(\log n/\log\log n)$ unless NP$\subseteq ext{ZPTIME}(n^{\log\log n})$ for acyclic graphs. The best approximation algorithm for the min-max shortest path problem in general graphs, known to date, has an approximation ratio of~$K$. In this paper, an $\widetilde{O}(\sqrt{n})$ flow LP-based approximation algorithm for min-max shortest path in general graphs is constructed. It is also shown that the approximation ratio obtained is close to an integrality gap of the corresponding flow LP relaxation.

研究动机与目标

• 解决在多个成本情景下最小-最大网络问题的计算困难性。
• 当情景数 $ K $ 无界时，为最小-最大最短路径与最小生成树问题设计改进的近似算法。
• 缩小已知不可近似性下界与现有近似比之间的差距，针对这些鲁棒优化问题。
• 提供具有可证明性能保证的算法，且其效率能随 $ n $ 和 $ K $ 有效扩展。

提出的方法

• 将最小-最大最短路径与最小生成树问题建模为具有 $ K $ 个不同成本情景的鲁棒优化问题。
• 通过基于情景的约束使用线性规划松弛，以刻画所有情景下的最坏情况成本。
• 设计一种基于 LP 解随机舍入的确定性舍入过程，利用切尔诺夫-霍夫丁不等式控制失败概率。
• 应用多轮边采样过程构建生成树，通过连通分量减少分析确保高概率连通性。
• 使用集中不等式，控制所有情景下采样解成本与 LP 最优解之间的偏差。
• 引入基于阈值的采样方案，其中边的包含概率由 LP 解导出，以在成本与连通性之间取得平衡。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在已知 $ K $-近似的基础上，为最小-最大最短路径问题获得更优的确定性近似比？
• RQ2 在一般图中，最小-最大生成树问题的最佳可能近似比是多少？能否以确定性方式实现？
• RQ3 近似比与对应 LP 松弛的整数规划间隙之间有何关系？
• RQ4 能否将随机舍入技术适配，以确保在最坏情景成本下生成树构造具有高概率连通性？

主要发现

• 为最小-最大最短路径问题设计了确定性 $ O(\sqrt{n\log K/\log\log K}) $-近似算法。
• 对于最小-最大生成树问题，在平均度数有界或平面图中，实现了确定性 $ O(\log n \log K / \log\log K) $-近似。
• 在一般图中，构建了针对最小-最大生成树问题的随机化 $ O(\log n) $-近似算法，且成功概率极高。
• 所获得的近似比被证明接近于底层 LP 松弛的整数规划间隙。
• 分析表明，构造有效生成树的失败概率至多为 $ 1/n^2 $，确保了高可靠性。
• 结果表明，近似比中的 $ \sqrt{n} $ 因子可能在这些鲁棒网络问题中是固有的，基于与相关问题的归约。