[论文解读] Approximating (Unweighted) Tree Augmentation via Lift-and-Project, Part II

Joe Cheriyan, Zhihan Gao|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2015

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 7被引用 5

一句话总结

本文提出了一种针对无权树增强问题（TAP）的组合多项式时间算法，其相对于LP松弛的Lasserre层级的近似比为 $\frac{3}{2} + \epsilon$。该算法利用源自Lasserre紧化的势函数，并依赖于分数解的结构分解以证明有界整数规划比，最终相对于整数最优解实现 $\frac{3}{2}$-近似。

ABSTRACT

In Part II, we study the unweighted Tree Augmentation Problem (TAP) via the Lasserre (Sum~of~Squares) system. We prove that the integrality ratio of an SDP relaxation (the Lasserre tightening of an LP relaxation) is $\leq \frac{3}{2}+ε$, where $ε>0$ can be any small constant. We obtain this result by designing a polynomial-time algorithm for TAP that achieves an approximation guarantee of ($\frac32+ε$) relative to the SDP relaxation. The algorithm is combinatorial and does not solve the SDP relaxation, but our analysis relies on the SDP relaxation. We generalize the combinatorial analysis of integral solutions from the previous literature to fractional solutions by identifying some properties of fractional solutions of the Lasserre system via the decomposition result of Karlin, Mathieu and Nguyen (IPCO 2011).

研究动机与目标

• 为无权树增强问题（TAP）的SDP松弛的整数规划比与目前已知最佳近似比之间的差距提供填补。
• 设计一种组合算法，实现相对于Lasserre SDP松弛的 $\frac{3}{2} + \epsilon$ 近似保证。
• 证明标准LP松弛的Lasserre紧化的整数规划比对任意 $\epsilon > 0$ 最多为 $\frac{3}{2} + \epsilon$。
• 建立该算法的性能可通过源自Lasserre层级的势函数进行有界控制，即使该算法并未直接求解SDP。

提出的方法

• 该算法使用一种自叶至根的贪心迭代过程，逐步使用边覆盖树边。
• 基于初始LP松弛的Lasserre紧化定义势函数，该函数上界控制所找到解的大小。
• 分析利用了Karlin、Mathieu和Nguyen（2011）的分解定理，将Lasserre系统的分数解表征为局部整数解。
• 该算法通过锁点收缩和M-边更新识别并解决组合障碍——特别是缺陷的3-叶和4-叶树，以维持可行性和有界成本。
• 一个关键的结构结果表明，任何具有特定性质的半闭树均存在一个大小等于其势函数的合适覆盖，从而实现归纳成本核算。
• 该方法证明了解的大小至多为势函数值，而该值至多为SDP松弛值的 $\left(\frac{3}{2} + \epsilon\right)$ 倍。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否证明Lasserre层级应用于TAP LP松弛时的整数规划比低于 $\frac{3}{2} + \epsilon$（对任意 $\epsilon > 0$）？
• RQ2 能否设计一种组合算法，在不直接求解SDP的情况下，实现相对于Lasserre SDP松弛的 $\frac{3}{2} + \epsilon$ 近似比？
• RQ3 Lasserre系统中分数解的何种结构特性使得可通过势函数分析实现有界近似保证？
• RQ4 该算法相对于SDP松弛的性能是否意味着其相对于整数最优解具有 $\frac{3}{2}$-近似？
• RQ5 势函数能否用于以分数解值的形式有界控制贪心边选择过程的成本？

主要发现

• 标准LP松弛的Lasserre紧化的整数规划比对任意 $\epsilon > 0$ 最多为 $\frac{3}{2} + \epsilon$，证明了该松弛强度的强界。
• 一种多项式时间的组合算法实现了相对于Lasserre SDP松弛的 $\frac{3}{2} + \epsilon$ 近似比。
• 该算法的解大小受源自Lasserre层级的势函数有界，该势函数值至多为SDP松弛值的 $\left(\frac{3}{2} + \epsilon\right)$ 倍。
• 当Lasserre层级达到最终层级 $t = |E|$ 时，势函数值至多为SDP松弛值的 $\frac{3}{2}$ 倍，意味着相对于整数最优解实现了 $\frac{3}{2}$-近似。
• 该算法可在 $O(|V|^3 + |V|^2 m_0^5)$ 时间内实现，其中 $m_0$ 为边的数量，使用标准数据结构。
• 推论8.10表明，该算法返回的解大小至多为最优整数解大小的 $\frac{3}{2}$ 倍。