[论文解读] Approximation algorithms for 1-Wasserstein distance between persistence diagrams

Samantha Chen, Yusu Wang|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2021

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 25被引用 6

一句话总结

本文提出了两种近线性时间的近似算法，用于通过 $L_1$ 嵌入和基于流树的随机平移方法，计算持久性图之间的 1- Wasserstein 距离，相较于精确方法（如匈牙利算法）实现了数量级的加速，同时保持了较低的平均相对误差（例如，在真实数据集上流树方法的误差为 0.28–0.31），使其在大规模拓扑数据分析中具有实际应用价值。

ABSTRACT

Recent years have witnessed a tremendous growth using topological summaries, especially the persistence diagrams (encoding the so-called persistent homology) for analyzing complex shapes. Intuitively, persistent homology maps a potentially complex input object (be it a graph, an image, or a point set and so on) to a unified type of feature summary, called the persistence diagrams. One can then carry out downstream data analysis tasks using such persistence diagram representations. A key problem is to compute the distance between two persistence diagrams efficiently. In particular, a persistence diagram is essentially a multiset of points in the plane, and one popular distance is the so-called 1-Wasserstein distance between persistence diagrams. In this paper, we present two algorithms to approximate the 1-Wasserstein distance for persistence diagrams in near-linear time. These algorithms primarily follow the same ideas as two existing algorithms to approximate optimal transport between two finite point-sets in Euclidean spaces via randomly shifted quadtrees. We show how these algorithms can be effectively adapted for the case of persistence diagrams. Our algorithms are much more efficient than previous exact and approximate algorithms, both in theory and in practice, and we demonstrate its efficiency via extensive experiments. They are conceptually simple and easy to implement, and the code is publicly available in github.

研究动机与目标

• 为解决使用匈牙利算法时，持久性图之间精确 1-Wasserstein 距离计算的计算瓶颈，其时间复杂度为 $O(n^3)$。
• 开发高效、实用且轻量级的近似算法，显著优于现有精确和近似方法的运行时间性能。
• 将原本用于欧几里得点集的随机四叉树近似最优传输技术，适配到持久性图的特殊结构中，包括对噪声进行对角线匹配。
• 在多样化的实际和合成数据集上，评估近似精度与计算效率之间的权衡。

提出的方法

• 通过将点映射到低维空间以保持距离结构，将最优传输中的 $L_1$ 嵌入方法适配到持久性图上。
• 使用随机平移的流树（四叉树）数据结构递归划分平面，并近似图中点之间的最优匹配。
• 允许点与对角线 $y=x$ 匹配，以建模噪声，与持久性图的标准 1-Wasserstein 距离一致。
• 通过流树实现几何加速，应用改进的拍卖算法，高效计算近似匹配。
• 通过四叉树网格的随机平移，降低最坏情况下的近似误差，提升稳定性。
• 实现两种算法，并在 GitHub 上提供开源代码，以确保可复现性和实际应用。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否有效将最优传输中的随机四叉树近似方法适配到持久性图之间的 1-Wasserstein 距离计算中？
• RQ2 与精确方法及现有近似方法（如 Hera）相比，$L_1$ 嵌入和流树方法的近似误差如何？
• RQ3 在具有不同点分布的多样化数据集上，运行时间效率与近似精度之间的权衡如何？
• RQ4 点靠近对角线的存在如何影响近似算法的性能和误差？

主要发现

• 在 reddit-binary 数据集上，基于流树的算法在 $L_2$ 地面度量下实现了 0.2854 的中位数平均相对误差，显著低于 $L_1$ 嵌入方法。
• 在合成-均匀数据上，流树方法将 $L_2$ 地面度量下的平均相对误差降低至 0.2664，表明其在多种数据类型下均具有强准确性。
• 两种算法相较于精确的匈牙利算法和 Hera 近似方法，均实现了多个数量级的加速，且流树方法始终快于 $L_1$ 嵌入方法。
• 近似误差在不同数据集上保持相对稳定，最高平均误差出现在 ModelNet10 数据集（流树方法为 0.7331），但仍处于实际应用可接受的范围内。
• 当持久性图中靠近对角线的点比例较高时，算法的准确性下降，可能由于噪声匹配误差增加所致。
• 流树方法在所有测试数据集上的 Recall@5 准确率均超过 0.9，表明其在最近邻搜索应用中表现优异。