[论文解读] Approximation Algorithms for Dominating Set in Disk Graphs

Matt Gibson, Imran A. Pirwani|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2010

Advanced Graph Theory Research参考文献 19被引用 10

一句话总结

本论文提出了一种针对无权单位图中最小支配集问题的多项式时间近似方案（PTAS），该方案基于加权Voronoi图的对偶结构，采用局部搜索算法；同时，针对加权情况，利用Varadarajan框架与加权Voronoi图，设计了一种随机化$2^{O(\log^* n)}$-近似算法，显著优于先前的$O(\log n)$界。

ABSTRACT

We consider the problem of finding a lowest cost dominating set in a given disk graph containing $n$ disks. The problem has been extensively studied on subclasses of disk graphs, yet the best known approximation for disk graphs has remained $O(\log n)$ -- a bound that is asymptotically no better than the general case. We improve the status quo in two ways: for the unweighted case, we show how to obtain a PTAS using the framework recently proposed (independently)by Mustafa and Ray [SoCG 09] and by Chan and Har-Peled [SoCG 09]; for the weighted case where each input disk has an associated rational weight with the objective of finding a minimum cost dominating set, we give a randomized algorithm that obtains a dominating set whose weight is within a factor $2^{O(\log^* n)}$ of a minimum cost solution, with high probability -- the technique follows the framework proposed recently by Varadarajan [STOC 10].

研究动机与目标

• 为克服在单位图中支配集问题长期停滞在$O(\log n)$近似界的问题，尽管相关几何图类已有进展。
• 通过利用加权Voronoi图的对偶结构建立局部性条件，为无权单位图设计PTAS。
• 为单位图中的加权支配集问题设计子对数近似，实现$2^{O(\log^* n)}$的近似因子。
• 将近期几何近似框架（如Mustafa & Ray及Varadarajan的工作）扩展至非均匀单位图中的支配集问题。
• 证明加权Voronoi图能够对几何集合覆盖与支配集问题中的局部性条件与解质量提供清晰刻画。

提出的方法

• 无权PTAS采用基于局部搜索的算法，其分析依赖于构造一个满足局部性条件的平面图，其中顶点来自局部搜索解与最优解，边反映覆盖关系。
• 通过由圆心及其半径构成的加权Voronoi图的对偶结构建立局部性条件，该结构推广了无权情形中使用的Delaunay三角剖分。
• 针对加权情形，算法应用Varadarajan的加权几何集合覆盖框架，通过将圆映射为$\mathbb{R}^4$中的点与半空间，将支配集问题转化为击中集实例。
• 采用具有准均匀采样的递归采样过程，构建期望权重在最优解$2^{O(\log^* n)}$倍以内的支配集，利用集中不等式与马尔可夫不等式。
• 算法利用具有相同邻域结构的圆的等价类，高效地在局部搜索中寻找改进的交换操作。
• 运行时间在$n$上多项式有界，采用朴素实现，递归深度为$O(\log^* n)$，并进行$O(\log n)$次独立试验以提高成功概率。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在一般单位图中实现最小支配集问题的PTAS，尽管先前技术仅能获得$O(\log n)$近似？
• RQ2 当圆半径非均匀时，局部搜索PTAS所需的局部性条件在单位图中是否成立？若成立，如何构造？
• RQ3 Varadarajan的加权几何集合覆盖框架能否被适配，以在单位图中为加权支配集问题获得子对数近似？
• RQ4 $2^{O(\log^* n)}$近似因子是否紧致？能否进一步改进为常数因子？
• RQ5 能否将局部搜索PTAS的运行时间从$n^{O(1/\varepsilon^2)}$改进为$n^{O(1/\varepsilon)}$？

主要发现

• 本论文通过证明基于加权Voronoi图对偶结构导出的平面局部性图的存在性，实现了单位图中无权支配集问题的PTAS。
• 针对加权情形，论文提出一种随机化算法，以高概率实现$2^{O(\log^* n)}$-近似于最小代价支配集。
• 分析表明，近似因子$2^{O(\log^* n)}$为子对数级，显著优于先前的$O(\log n)$界。
• 该算法的运行时间为$n$的多项式时间，递归深度受$O(\log^* n)$限制，且通过$O(\log n)$次独立试验确保高成功概率。
• 关键洞见在于，加权Voronoi图能够对局部性条件提供清晰刻画，推广了以往依赖无权Voronoi图或Delaunay三角剖分的研究成果。
• 论文指出，加权情形下的整数规划间隙仍为开放问题，暗示常数因子近似可能实现，尽管尚未被证明。