[论文解读] Approximation Algorithms for Fair Range Clustering

Sèdjro S. Hotegni, Sepideh Mahabadi+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 11, 2023

Facility Location and Emergency Management被引用 4

一句话总结

本文提出了首个针对公平范围 ℓp-聚类的常数因子近似算法，该问题为公平 k-center、k-median 和 k-means 聚类的推广。通过利用结构化线性规划与一种新颖的网络流构造，作者在所有 p ∈ [1, ∞) 下实现了 O(1)-近似，解决了在放宽群体表征约束条件下公平聚类中的一个开放问题。

ABSTRACT

This paper studies the fair range clustering problem in which the data points are from different demographic groups and the goal is to pick $k$ centers with the minimum clustering cost such that each group is at least minimally represented in the centers set and no group dominates the centers set. More precisely, given a set of $n$ points in a metric space $(P,d)$ where each point belongs to one of the $\ell$ different demographics (i.e., $P = P_1 \uplus P_2 \uplus \cdots \uplus P_\ell$) and a set of $\ell$ intervals $[α_1, β_1], \cdots, [α_\ell, β_\ell]$ on desired number of centers from each group, the goal is to pick a set of $k$ centers $C$ with minimum $\ell_p$-clustering cost (i.e., $(\sum_{v\in P} d(v,C)^p)^{1/p}$) such that for each group $i\in \ell$, $|C\cap P_i| \in [α_i, β_i]$. In particular, the fair range $\ell_p$-clustering captures fair range $k$-center, $k$-median and $k$-means as its special cases. In this work, we provide efficient constant factor approximation algorithms for fair range $\ell_p$-clustering for all values of $p\in [1,\infty)$.

研究动机与目标

• 通过确保每个人口统计群体在所选中心中的最小与最大表征比例，解决基于中心的聚类中的公平性问题。
• 将严格公平聚类模型（每组固定中心数量）推广为更具弹性的“公平范围”模型，即对群体表征设定上下界。
• 为公平范围 ℓp-聚类问题设计高效的近似算法，并对所有 p ∈ [1, ∞) 提供乘法保证。
• 填补在 ℓp 目标下公平范围聚类近似可解性的空白，尽管在特殊情况下已有进展，但该问题仍长期悬而未决。
• 为现实世界应用（如图像搜索与资源分配）中的公平数据摘要提供一种实用且理论严谨的框架。

提出的方法

• 为稀疏实例的公平范围聚类问题制定结构化线性规划（StructuredLP），以降低复杂度。
• 构建分层网络流实例，包含源点、设施、群体与汇点四层，以建模中心选择与群体约束。
• 利用 StructuredLP 的半整数最优解指导流的构造，确保可行性并实现整数中心选择。
• 将流从源点路由至汇点，使得每个设施接收与其选择概率成比例的流，同时遵守群体约束与总中心数 k 的限制。
• 证明所构造的中心集满足所有公平性约束（αi ≤ |C ∩ Pi| ≤ βi），并实现有界的聚类代价。
• 通过将构造解的代价与线性规划最优解的代价关联，建立近似比，最终在取 1/p 次幂后得到 O(1) 近似。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否为所有一般 p ∈ [1, ∞) 的公平范围 ℓp-聚类设计高效的常数因子近似算法？
• RQ2 如何放松每组固定中心数量的严格要求，以在保持公平性的同时提升解的质量？
• RQ3 在 ℓp 目标下，公平范围聚类的近似可解性如何，特别是对 k-median 与 k-means 问题？
• RQ4 在该约束环境下，能否通过 LP 放松与网络流技术实现乘法近似保证？
• RQ5 是否存在一种方法，可将分数 LP 解转化为满足群体边界且保持低聚类代价的整数中心集？

主要发现

• 本文对所有 p ∈ [1, ∞) 实现了公平范围 ℓp-聚类的 O(1)-近似，首次为该问题提供了纯粹的乘法近似。
• 近似因子受 (9/2)^p 倍最优 LP 代价的限制，经 ℓp 范数调整后转化为常数因子。
• 一种新颖的网络流构造确保了所有公平性约束（αi ≤ |C ∩ Pi| ≤ βi）均被满足，同时保持总中心数为 k。
• 该方法依赖于稀疏实例的约化与半整数 LP 解，以实现高效的流路由与整数中心选择。
• 该方法可推广至 k-center、k-median 与 k-means，分别作为 ℓp-聚类在 p = ∞、1 与 2 时的特例。
• 该框架是首个为具有通用 ℓp 目标的公平范围聚类提供常数因子近似的方案，解决了该领域的一个开放问题。