[论文解读] Approximation Algorithms for Hard Capacitated $k$-facility Location Problems

Karen Aardal, Pieter van den Berg+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 19, 2013

Facility Location and Emergency Management参考文献 18被引用 6

一句话总结

本文首次为单汇点容量受限的 $k$-设施选址问题提出了全多项式时间近似方案（FPTAS），并为客户端数量固定的均匀容量情形设计了多项式时间算法。此外，通过利用伪近似技术与原始-对偶方法，改进了均匀开启成本下容量受限设施选址问题的近似算法，实现了 $4.562(1+\epsilon)$ 的近似比。

ABSTRACT

We study the capacitated $k$-facility location problem, in which we are given a set of clients with demands, a set of facilities with capacities and a constant number $k$. It costs $f_i$ to open facility $i$, and $c_{ij}$ for facility $i$ to serve one unit of demand from client $j$. The objective is to open at most $k$ facilities serving all the demands and satisfying the capacity constraints while minimizing the sum of service and opening costs. In this paper, we give the first fully polynomial time approximation scheme (FPTAS) for the single-sink (single-client) capacitated $k$-facility location problem. Then, we show that the capacitated $k$-facility location problem with uniform capacities is solvable in polynomial time if the number of clients is fixed by reducing it to a collection of transportation problems. Third, we analyze the structure of extreme point solutions, and examine the efficiency of this structure in designing approximation algorithms for capacitated $k$-facility location problems. Finally, we extend our results to obtain an improved approximation algorithm for the capacitated facility location problem with uniform opening cost.

研究动机与目标

• 为单汇点容量受限的 $k$-设施选址问题设计首个全多项式时间近似方案（FPTAS）。
• 当客户端数量固定时，为均匀容量的 $k$-设施选址问题开发多项式时间算法。
• 分析极点解的结构，以指导容量受限 $k$-设施选址问题近似算法的设计。
• 将结果扩展至改进具有均匀开启成本的容量受限设施选址问题的近似比。

提出的方法

• 通过动态规划与舍入技术，为单汇点容量受限的 $k$-设施选址问题提出 FPTAS。
• 将客户端数量固定的均匀容量 $k$-设施选址问题约化为一组可在多项式时间内求解的运输问题。
• 分析线性规划松弛中极点解的结构，以利用其内在性质指导近似算法设计。
• 结合 $k$-中位问题的 $(\beta, \delta)$-近似算法与伪近似框架，以处理设施开启与容量约束。
• 应用来自 Charikar 和 Guha 的缩放局部搜索启发式算法，实现 $k$-中位问题的双准则近似。
• 利用所得近似结果，推导出具有均匀开启成本的容量受限设施选址问题的 $4.562(1+\epsilon)$-近似算法。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为单汇点容量受限的 $k$-设施选址问题设计全多项式时间近似方案（FPTAS）？
• RQ2 当客户端数量固定时，均匀容量的 $k$-设施选址问题是否可在多项式时间内求解？
• RQ3 线性规划松弛中极点解的结构如何为容量受限 $k$-设施选址问题的近似算法设计提供指导？
• RQ4 能否将 $k$-设施选址问题的伪近似算法扩展，以改进一般容量受限设施选址问题的近似比？

主要发现

• 为单汇点容量受限的 $k$-设施选址问题开发了 FPTAS，可在全多项式时间内实现任意接近最优的近似解。
• 当客户端数量固定时，通过将均匀容量 $k$-设施选址问题约化为一组运输问题，可在多项式时间内求解。
• 对线性规划松弛中极点解的结构进行分析，揭示了对近似算法设计具有实用价值的性质。
• 为具有均匀开启成本的容量受限设施选址问题实现了 $4.562(1+\epsilon)$-近似算法，优于先前结果。
• 利用 $k$-中位问题的 $(\beta, \delta)$-近似算法，实现了允许开启最多 $\delta k$ 个设施的双准则近似，从而获得更优的界。
• 通过结合 $k$-中位问题的伪近似与原始-对偶框架，本文为一般容量受限设施选址问题实现了常数因子近似。