[论文解读] Approximation Algorithms for Independence and Domination on B$_1$-VPG and B$_1$-EPG Graphs

Saeed Mehrabi|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2017

Advanced Graph Theory Research参考文献 4被引用 4

一句话总结

本文提出了 B₁-VPG 圖上最大獨立集問題的 O(log n)-近似演算法，以及一String B₁-VPG 圖上最小支配集問題的首個常數因子近似演算法。此外，本文證明了 B₁-EPG 圖上最小支配集問題的 APX-難度，並針對兩個非平凡的子類別提供了 O(1)-近似演算法，解決了該領域的開放問題。

ABSTRACT

A graph $G$ is called B$_k$-VPG (resp., B$_k$-EPG), for some constant $k\geq 0$, if it has a string representation on a grid such that each vertex is an orthogonal path with at most $k$ bends and two vertices are adjacent in $G$ if and only if the corresponding strings intersect (resp., the corresponding strings share at least one grid edge). If two adjacent strings of a B$_k$-VPG graph intersect exactly once, then the graph is called a one-string B$_k$-VPG graph. In this paper, we study the Maximum Independent Set and Minimum Dominating Set problems on B$_1$-VPG and B$_1$-EPG graphs. We first give a simple $O(\log n)$-approximation algorithm for the Maximum Independent Set problem on B$_1$-VPG graphs, improving the previous $O((\log n)^2)$-approximation algorithm of Lahiri et al. (COCOA 2015). Then, we consider the Minimum Dominating Set problem. We give an $O(1)$-approximation algorithm for this problem on one-string B$_1$-VPG graphs, providing the first constant-factor approximation algorithm for this problem. Moreover, we show that the Minimum Dominating Set problem is APX-hard on B$_1$-EPG graphs, ruling out the possibility of a PTAS unless P=NP. Finally, we give constant-factor approximation algorithms for this problem on two non-trivial subclasses of B$_1$-EPG graphs. To our knowledge, these are the first results for the Minimum Dominating Set problem on B$_1$-EPG graphs, partially answering a question posed by Epstein et al. (WADS 2013).

研究动机与目标

• 針對 B₁-VPG 與 B₁-EPG 圖上的基本 NP-難問題——最大獨立集與最小支配集，發展高效的近似演算法。
• 改進先前的近似比，特別是將 B₁-VPG 圖上最大獨立集問題的界由 O((log n)²) 減少至 O(log n)。
• 為一String B₁-VPG 圖上的最小支配集問題建立首個常數因子近似演算法。
• 研究 B₁-EPG 圖上最小支配集問題的計算複雜度，證明其 APX-難度，並針對特定子類別提供近似演算法。
• 部分回答 Epstein 等人針對 B₁-EPG 圖上最小支配集問題近似演算法所提出的開放問題。

提出的方法

• 針對 B₁-VPG 圖上的最大獨立集問題，設計了一種貪心近似演算法，利用路徑的總排序，迭代選擇互不重疊且干擾最小的路徑。
• 針對一String B₁-VPG 圖，透過分析鄰居結構，證明每個最佳解路徑至多可支配貪心解中的三條路徑，從而實現新的常數因子近似。
• 透過從已知的 APX-完全問題歸約，建立 B₁-EPG 圖上最小支配集問題的 APX-難度證明，顯示除非 P=NP，否則不存在 PTAS。
• 針對 B₁-EPG 圖的兩個子類別，利用路徑方向與交集的結構約束，發展常數因子近似演算法。
• 分析依賴幾何與組合論證，包括角落點比較與垂直/水平鄰居集合，以界定近似比。
• 使用弱一般位置假設，以避免路徑僅在端點接觸的退化情況，確保交集與鄰接關係定義清晰。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否為 B₁-VPG 圖上的最大獨立集問題設計 O(1)-近似演算法，或此問題是否為 APX-難？
• RQ2 在一般 B₁-VPG 圖上（不僅限於一String 情形），是否存在最小支配集問題的常數因子近似？
• RQ3 當限制在僅含一種路徑類型（例如僅水平或僅垂直路徑）的 B₁-EPG 圖上時，最小支配集問題的 APX-難度是否仍然成立？
• RQ4 能否為一般 B₁-EPG 圖上的最小支配集問題發展 O(1)-近似演算法？
• RQ5 在具有結構約束的特定子類別——垂直交叉 B₁-EPG 圖上，最小支配集問題是否為 NP-難？

主要发现

• 提出針對 B₁-VPG 圖上最大獨立集問題的 O(log n)-近似演算法，改進了先前 O((log n)²) 的界。
• 為一String B₁-VPG 圖上最小支配集問題開發首個常數因子近似演算法，近似比至多為 3。
• 證明 B₁-EPG 圖上最小支配集問題為 APX-難，排除了 PTAS 的存在，除非 P=NP。
• 針對 B₁-EPG 圖的兩個非平凡子類別，提供近似比分別為 2 和 3 的常數因子近似演算法。
• 分析顯示，每個最佳解路徑至多可支配貪心解中的三條路徑，這是達成常數因子界的核心關鍵。
• 結果部分回答了 Epstein 等人針對 B₁-EPG 圖上最小支配集問題近似演算法所提出的開放問題。