[论文解读] Approximation Algorithms for Max-Min Share Allocations of Indivisible Chores and Goods

Haris Aziz, Gerhard Rauchecker+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2016

Scheduling and Optimization Algorithms参考文献 16被引用 7

一句话总结

本文为不可分物品（负效用物品）的 chores 引入了最大最小份额（MmS）公平性，证明了 MmS 分配可能不存在，且计算 MmS 分配是强 NP-难问题。本文提出了一种针对 chores 的 2-近似算法，并引入了新颖的最优 MmS 概念，该概念保证了最佳可能的 MmS 近似，且始终存在。此外，本文在代理人数固定时，利用并行机器调度的联系，提供了最优 MmS 的 PTAS。

ABSTRACT

We consider Max-min Share (MmS) allocations of items both in the case where items are goods (positive utility) and when they are chores (negative utility). We show that fair allocations of goods and chores have some fundamental connections but differences as well. We prove that like in the case for goods, an MmS allocation does not need to exist for chores and computing an MmS allocation - if it exists - is strongly NP-hard. In view of these non-existence and complexity results, we present a polynomial-time 2-approximation algorithm for MmS fairness for chores. We then introduce a new fairness concept called optimal MmS that represents the best possible allocation in terms of MmS that is guaranteed to exist. For both goods and chores, we use connections to parallel machine scheduling to give (1) an exponential-time exact algorithm and (2) a polynomial-time approximation scheme for computing an optimal MmS allocation when the number of agents is fixed.

研究动机与目标

• 研究不可分 chores 的最大最小份额（MmS）分配的存在性与计算问题，此前该问题尚未被研究。
• 建立 MmS 分配在 goods 与 chores 之间的基本联系与差异，尤其在效用取负情况下的表现。
• 通过引入新公平性概念——最优 MmS，解决 chores 的 MmS 分配不存在与计算困难的问题。
• 设计高效近似算法以实现最优 MmS 公平性，包括针对 chores 的 2-近似算法，以及针对固定代理数的 PTAS。
• 利用与并行机器调度的联系，推导出 goods 与 chores 的精确与近似算法。

提出的方法

• 提出最优 MmS 的概念，即保证始终存在的最佳可能 MmS 近似，确保在 MmS 分配存在时实现公平性。
• 提出一种线性时间的轮转算法，实现 chore 分配中 MmS 公平性的 2-近似，且该近似界为紧致。
• 通过从 3-分割问题与整数分割问题的归约，证明计算 goods 与 chores 的 MmS 分配均为强 NP-难问题。
• 建立 MmS 公平性与并行机器调度之间的联系，以设计最优 MmS 的指数时间精确算法。
• 应用成熟的调度算法，构建当代理人数固定时最优 MmS 的多项式时间近似方案（PTAS）。
• 定义归一化效用变换 $ u_i'(S_i) = u_i(S_i) / MmS_{u_i}^N(\text{M}) $ 以分析近似比，并证明 PTAS 的正确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 不可分 chores 的 MmS 分配是否总是存在？若否，最佳替代公平性保证是什么？
• RQ2 goods 的最大最小份额公平性概念能否有意义地扩展到 chores？其中的根本差异是什么？
• RQ3 计算 chores 的 MmS 分配的计算复杂度如何？我们能否设计高效的近似算法？
• RQ4 能否定义一种始终可实现的公平性概念，且在 MmS 分配存在时能涵盖 MmS 公平性？
• RQ5 当代理人数固定时，能否利用调度理论设计最优 MmS 公平性的 PTAS？

主要发现

• chores 的 MmS 分配并不总是存在，且当其存在时，计算该分配是强 NP-难问题。
• 一种线性时间的轮转算法可实现 chore 分配中 MmS 公平性的 2-近似，且该界为紧致。
• 引入了最优 MmS 概念，作为始终存在的公平性保证，且在 MmS 分配存在时可涵盖 MmS 公平性。
• 对于 goods 与 chores，均通过并行机器调度理论推导出最优 MmS 的指数时间精确算法。
• 当代理人数固定时，开发出最优 MmS 的多项式时间近似方案（PTAS），这是 MmS 公平性领域的首次此类结果。
• PTAS 实现了对任意 $ \varepsilon > 0 $ 的近似比 $ (1 - \varepsilon) $，显著优于以往的常数因子近似。