[论文解读] Approximation Algorithms for Polynomial-Expansion and Low-Density Graphs

Har-Peled, Sariel, Quanrud, Kent|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2015

Advanced Graph Theory Research被引用 7

一句话总结

该论文为具有多项式扩展性的图以及 ℝᵈ 中低密度的几何对象，提出了独立集、支配集和集合覆盖问题的 (1+ε)-近似算法。通过利用小分隔符和低膨胀维数，作者实现了高效的 PTAS 结果，同时在 ETH 下证明了紧致的下界，表明除非它们是浅层的，否则对胖三角形进行 PTAS 是不可能的。

ABSTRACT

We study the family of intersection graphs of low density objects in low dimensional Euclidean space. This family is quite general, and includes planar graphs. We prove that such graphs have small separators. Next, we present efficient $(1+\\varepsilon)$-approximation algorithms for these graphs, for Independent Set, Set Cover, and Dominating Set problems, among others. We also prove corresponding hardness of approximation for some of these optimization problems, providing a characterization of their intractability in terms of density.

研究动机与目标

• 为低密度和多项式扩展图上的基本 NP-难问题设计高效的 (1+ε)-近似算法。
• 根据对象深度和密度，刻画几何集合覆盖和命中集问题的计算复杂性。
• 在指数时间假设（ETH）下，为几何实例建立近似问题的紧致下界。
• 通过引入基于图扩展性和分隔符性质的通用框架，统一并扩展现有的几何问题 PTAS 结果。

提出的方法

• 作者将低密度图定义为 ℝᵈ 中几何对象的交集图，其密度有界，即任一对象不会与太多更大的对象相交。
• 他们证明低密度图是多项式扩展图的一个子类，从而可利用分隔符定理来设计高效的近似方案。
• 关键技术在于使用小分隔符递归分解图，使动态规划或局部搜索能够实现 (1+ε)-近似。
• 该框架被应用于独立集、支配集和集合覆盖问题，运行时间取决于密度 ρ 和维度 d，得到运行时间为 n^{O(ρ^{(d+1)/d}/ε^d)} 的 PTAS。
• 通过在指数时间假设（ETH）下从 3-SAT 进行归约，推导出下界结果，表明当密度超过 polylog n 时，PTAS 不可能实现。
• 论文通过证明在 ETH 下，任何 (1+ε)-近似算法都无法在时间 n^{ρ^{c''}/ε^{O(1)}} 内运行（其中 c'' 为某常数），从而建立紧致边界。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为低密度和多项式扩展图上的独立集和集合覆盖问题设计 (1+ε)-近似算法？
• RQ2 深度和密度在决定几何集合覆盖问题（如用胖三角形覆盖点）可解性方面起什么作用？
• RQ3 在何种几何约束下，覆盖点的胖三角形问题可能存在 PTAS？
• RQ4 在指数时间假设（ETH）下，几何集合覆盖和命中集问题的近似极限是什么？
• RQ5 低密度图与有界亏格图或平面图等其他稀疏图类之间有何关系？

主要发现

• 该论文为具有多项式扩展性的图上的独立集、支配集和集合覆盖问题提出了 PTAS，其运行时间为 n^{O(ρ^{(d+1)/d}/ε^d)}（ρ 为 ℝᵈ 中的密度）。
• 仅当胖三角形为浅层时，才能对点集进行覆盖的 PTAS；否则，除非 P = NP，否则不存在 PTAS。
• 在指数时间假设（ETH）下，任何针对具有胖三角形的几何集合覆盖问题的 (1+ε)-近似算法，都无法在时间 n^{ρ^{c''}/ε^{O(1)}} 内运行（其中 c'' > 0 为某常数）。
• 作者证明，当胖三角形的密度 ρ = Ω(log^c n) 时，在 ETH 下无法在多项式时间内实现 (1+ε)-近似（当 c 足够大时）。
• 该论文确立了低密度图是多项式扩展图的子类，且小分隔符是实现高效近似的关链。
• 下界结果表明，对于胖三角形，问题的可解性从浅层时的可近似（可解）转变为深层时的不可近似，从而刻画了 PTAS 可行性的临界阈值。