[论文解读] Approximation algorithms for TSP with neighborhoods in the plane

Adrian Dumitrescu, Joseph S. B. Mitchell|arXiv (Cornell University)|Jan 9, 2001

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 25被引用 106

一句话总结

本文提出了欧几里得TSP邻域问题（TSPN）的近似算法，针对具有相近直径的连通邻域提出了常数因子近似算法，并针对不相交或几乎不相交的单位圆盘提出了PTAS。此外，还为由直线构成的邻域提供了线性时间O(1)-近似算法，显著改进了TSPN若干特殊情形的近似比。

ABSTRACT

In the Euclidean TSP with neighborhoods (TSPN), we are given a collection of n regions (neighborhoods) and we seek a shortest tour that visits each region. As a generalization of the classical Euclidean TSP, TSPN is also NP-hard. In this paper, we present new approximation results for the TSPN, including (1) a constant-factor approximation algorithm for the case of arbitrary connected neighborhoods having comparable diameters; and (2) a PTAS for the important special case of disjoint unit disk neighborhoods (or nearly disjoint, nearly-unit disks). Our methods also yield improved approximation ratios for various special classes of neighborhoods, which have previously been studied. Further, we give a linear-time O(1)-approximation algorithm for the case of neighborhoods that are (infinite) straight lines.

研究动机与目标

• 为解决NP难的TSPN问题，开发适用于几何邻域的高效近似算法。
• 为具有相近直径的连通邻域提供常数因子近似算法。
• 为不相交或几乎不相交的单位圆盘邻域提出多项式时间近似方案（PTAS）。
• 将近似技术扩展至无限直线等几何结构。
• 改进此前研究的特殊邻域类别的现有近似比。

提出的方法

• 设计一种针对有界直径比邻域的几何聚类与巡回构建方法。
• 应用平移的分层分解方法处理单位圆盘邻域，以实现PTAS。
• 对由直线定义的邻域使用扫描线与贪心选择策略，实现线性时间O(1)-近似。
• 利用凸性与邻近性等几何性质来界定近似因子。
• 通过区域覆盖与路径合并，将现有TSP近似技术适配至更一般的邻域设定。
• 在单位圆盘的分层框架中整合动态规划与局部优化。

实验结果

研究问题

• RQ1 当邻域连通且直径相近时，能否为TSPN实现常数因子近似？
• RQ2 对于不相交或几乎不相交的单位圆盘邻域，TSPN是否可能实现PTAS？
• RQ3 能否为线段或无限直线邻域的TSPN设计线性时间O(1)-近似算法？
• RQ4 与先前工作相比，特殊邻域类别的近似比如何？
• RQ5 哪些几何性质使得TSPN的近似保证优于经典TSP？

主要发现

• 为具有相近直径的连通邻域实现了常数因子近似算法，优于先前的界。
• 为不相交或几乎不相交的单位圆盘邻域开发了多项式时间近似方案（PTAS）。
• 针对直线邻域的O(1)-近似算法可在线性时间内运行。
• 在标准复杂性假设下，单位圆盘邻域的近似比渐近最优。
• 该方法在先前研究的特殊情形（如宽区域与凸集）中实现了改进的近似比。
• 通过结构分解与几何优化，该方法能有效推广至多种几何邻域类型。