[论文解读] Approximation algorithms for two-machine flow-shop scheduling with a conflict graph

Yinhui Cai, Guangting Chen+5 more|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2018

Scheduling and Optimization Algorithms被引用 3

一句话总结

本文提出了针对以冲突图为模型的两机流水车间调度问题的近似算法。对于单位作业，提出了一种基于路径覆盖问题的多项式时间可解变体的 4/3-近似算法；对于冲突图为两个不相交团的并集的情况，提出了一种基于作业聚合和约翰逊规则的 3/2-近似算法，两者均具有紧致的性能保证。

ABSTRACT

Path cover is a well-known intractable problem that finds a minimum number of vertex disjoint paths in a given graph to cover all the vertices. We show that a variant, where the objective function is not the number of paths but the number of length-$0$ paths (that is, isolated vertices), turns out to be polynomial-time solvable. We further show that another variant, where the objective function is the total number of length-$0$ and length-$1$ paths, is also polynomial-time solvable. Both variants find applications in approximating the two-machine flow-shop scheduling problem in which job processing has constraints that are formulated as a conflict graph. For the unit jobs, we present a $4/3$-approximation algorithm for the scheduling problem with an arbitrary conflict graph, based on the exact algorithm for the variants of the path cover problem. For the arbitrary jobs while the conflict graph is the union of two disjoint cliques, that is, all the jobs can be partitioned into two groups such that the jobs in a group are pairwise conflicting, we present a simple $3/2$-approximation algorithm.

研究动机与目标

• 开发两机流水车间调度问题在作业冲突约束下的高效近似算法。
• 解决由于作业间成对冲突导致无法并行处理时，最小化完工时间的挑战。
• 探索冲突图为两个不相交团的并集或由单位长度作业构成的特殊情况。
• 通过新颖的图论技术，为这些特殊情况建立紧致的近似比。
• 弥合难以求解的路径覆盖变体与实际调度近似算法之间的差距。

提出的方法

• 提出了一种路径覆盖问题的变体，其目标是最小化孤立顶点（0-路径）和边（1-路径）的数量，该问题被证明可在多项式时间内求解。
• 利用该路径覆盖变体的精确解，设计了针对任意冲突图下单位作业的 4/3-近似算法。
• 对于冲突图为两个不相交团的并集的情况，根据其冲突组将作业聚合为两个超作业。
• 对这两个聚合后的作业应用约翰逊算法，得到具有 3/2-近似保证的调度方案。
• 通过比较算法的完工时间与最优完工时间，考虑所有可能的处理时间排序，证明了性能比。
• 采用组合分析和基于相对处理时间的案例划分，建立了近似界。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否对路径覆盖问题进行修改，使得最小化 0-路径和 1-路径数量的问题变为多项式时间可解？
• RQ2 对于具有任意冲突图的单位作业，两机流水车间调度问题的最佳可能近似比是多少？
• RQ3 当冲突图为两个不相交团的并集时，能否获得更优的近似比？
• RQ4 单位作业的 4/3-近似比是否渐近紧致？
• RQ5 在聚合作业调度方法中，能否减少空闲时间以改善近似比？

主要发现

• 最小化 0-路径（孤立顶点）数量的路径覆盖问题变体可在多项式时间内求解。
• 最小化 0-路径和 1-路径（孤立顶点和边）总数的路径覆盖问题变体也可在多项式时间内求解。
• 针对具有任意冲突图的单位作业，两机流水车间调度问题实现了 4/3-近似算法。
• 单位作业的 4/3-近似比在渐近意义下是紧致的，意味着在标准复杂性假设下无法获得更优的比值。
• 针对冲突图为两个不相交团的并集的情况，提出了 3/2-近似算法。
• 该 3/2-近似算法的时间复杂度为 O(m)，其中 m 为冲突图中的边数，基于作业聚合与约翰逊规则。