[论文解读] Approximation and billiards

Serge Troubetzkoy|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2006

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 19被引用 5

一句话总结

本文将动力系统与丢番图逼近中的近似技术应用于无理多边形中的台球动力学，特别是广义平行四边形。通过有理逼近，证明了在典型多边形中拓扑传递性是普遍的；并证明了具有小返回集的方向集合的盒维数受丢番图逼近性质的限制，而豪斯多夫维数结果表明此类方向和角度具有丰富性。

ABSTRACT

This survey is based on a series of talks I gave at the conference "Dynamical systems and diophantine approximation" at l'Instut Henri Poincar\\'e in June 2003. I will present asymptotic results (transitivity, ergodicity, weak-mixing) for billiards based on the approximation technique developed by Katok and Zemlyakov. I will also present approximation techniques which allow to prove the abundance of periodic trajectories in certain irrational polygons.

研究动机与目标

• 通过有理逼近，在典型无理多边形的台球流中建立普遍的拓扑传递性。
• 通过非齐次丢番图逼近分析无理平行四边形中周期轨道的普遍性。
• 利用分形维数理论量化在台球动力学中返回集较小的方向与角度集合的大小。
• 通过推导由丢番图逼近条件定义的集合的豪斯多夫维数新结果，将动力系统与数论联系起来。
• 将卡托克-岑姆利亚科夫逼近方法推广至无理多边形，并推导出方向异常集合的维数界。

提出的方法

• 使用卡托克-岑姆利亚科夫构造法，将有理多边形中的台球轨迹展开为具有锥形奇点的平坦曲面上的直线流。
• 通过用有理多边形逼近无理多边形，在参数空间的紧子集上，利用稠密的 Gδ 集证明普遍的拓扑传递性。
• 利用非齐次丢番图逼近分析广义平行四边形中台球轨迹的返回性质。
• 依赖盒维数与豪斯多夫维数理论，量化具有小返回集的方向与角度的异常集合大小。
• 将度量丢番图逼近的最新结果——特别是关于同时逼近条件定义的集合维数——应用于台球动力学。
• 使用不变曲面构造法，将台球轨道的研究转化为在可平移曲面上线性流的动力学，从而可应用几何与数论工具。

实验结果

研究问题

• RQ1 在无理多边形中，拓扑传递性是否典型？是否可通过有理多边形逼近来证明？
• RQ2 在固定无理平行四边形中，有多少方向具有小返回集（即返回时间集合的盒维数较小）？
• RQ3 对于固定方向，有多少广义平行四边形在该方向上具有小返回集？
• RQ4 给定平行四边形中，具有小返回集的方向集合的豪斯多夫维数是多少？
• RQ5 非齐次丢番图逼近的结果如何应用于无理多边形中台球轨迹的几何与动力学？

主要发现

• 在多边形空间中，拓扑传递性是普遍的：对于任意紧多边形集合，具有稠密轨道的多边形集合是稠密的 Gδ 集。
• 对于固定广义平行四边形，其无理角为 α，若方向 θ 满足 μ-良好逼近条件，即 ||(θ + pα)/π|| < p^{-μ} 有无穷多组解，则 F_θ ∩ U_θ 的下盒维数至多为 1/(μ+1)。
• 对于 s ∈ [0, 1/2]，满足 dim_{LB}(F_θ ∩ U_θ) ≤ s 的方向集合的豪斯多夫维数至少为 s/(1−s)。
• 对于固定方向 θ₀，满足 dim_{LB}(F_θ₀ ∩ U_θ₀) < s 的角度 α 的集合的豪斯多夫维数至少为 2s，其中 s ∈ [0, 1/2]。
• 具有小返回集的方向集合是残集集，且盒维数为 1，表明其在拓扑意义上具有丰富性。
• 本文在度量丢番图逼近方面建立了新结果：dim_H(𝒜_{μ,ω}) = 1/μ 且 dim_H(ℬ_{μ,t}) = 2/(1+μ)，其中 μ > 1，这些结果被应用于台球动力学。