[论文解读] Approximation and Bounded Plurisubharmonic Exhaustion Functions Beyond Lipschitz Domains

Benny Avelin, Lisa Hed+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2012

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 19被引用 5

一句话总结

本文将多复变函数理论中两个基础结果——多次次调和函数逼近与有界充分函数存在性——推广至边界正则性较低的区域，具体为 $C^0$ 与对数-Lipschitz 边界。通过运用偏微分方程技巧与精细渐近分析，作者证明了在 $C^0$ 区域上，连续多值次调和函数可在闭包邻域内被光滑多值次调和函数一致逼近，且在对数-Lipschitz 区域上建立了有界多值次调和充分函数的存在性，从而将 Fornaess-Wiegerinck 与 Demailly 的结果从 Lipschitz 边界推广至更低正则性情形。

ABSTRACT

Using techniques from the analysis of PDEs to study the boundary behaviour of functions on domains with low boundary regularity, we extend results by Fornaæss-Wiegerinck (1989) on plurisubharmonic approximation and by Demailly (1987) on the existence on bounded plurisubharmonic exhaustion functions to domains beyond Lipschitz boundary regularity.

研究动机与目标

• 将 Fornaess 与 Wiegerinck 关于 $C^1$ 边界上的多值次调和逼近结果，从 $C^1$ 推广至 $C^0$ 边界。
• 将 Demailly 关于有界多值次调和充分函数存在性的结果，从 Lipschitz 域推广至对数-Lipschitz 域。
• 研究多值次调和函数理论中双全凸性与逼近性质所需的最小边界正则性。
• 提供逼近精度与逼近函数定义域大小之间关系的显式估计。
• 证明使多值次调和函数能跨边界延拓的关键几何性质是边界线段可无自交平移，该性质在图域中成立，但在一般分形域中不成立。

提出的方法

• 改编 Fornaess 与 Wiegerinck 的证明技巧，辅以显式计算，以估计逼近精度与区域大小之间的关系。
• 使用 Richberg 正则化引理（引理 8）构造具有受控次水平集与复 Hessian 下界之光滑逼近函数。
• 基于到边界的距离构造对数障碍函数，适配对数-Lipschitz 几何，以控制充分函数的增长。
• 通过距离函数 $\delta(z)$ 分析逼近函数复 Hessian 的渐近行为，使用 $\log \log(1/\delta(z))$ 类型的修正项。
• 应用基于 Lambert $W$-函数的比较论证，以估计逼近保持有效的区域大小。
• 通过结合模型函数与考虑对数-Lipschitz 正则性的对数修正项，构造具有受控边界附近增长的严格多值次调和函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $C^0$ 区域上，连续多值次调和函数能否在闭包上被定义于闭包邻域的光滑多值次调和函数一致逼近？
• RQ2 伪凸区域要存在有界多值次调和充分函数，其边界所需的最小正则性为何？
• RQ3 有界多值次调和充分函数的存在性是否依赖于边界线段可无自交平移的能力？
• RQ4 在低正则性情形下，Fornaess-Wiegerinck 类构造的逼近误差如何随定义域大小变化？
• RQ5 能否通过对边界附近复 Hessian 增长估计的改进，将 Demailly 证明的渐近分析推广至对数-Lipschitz 域？

主要发现

• 在有界 $C^0$ 区域 $\Omega$ 上，任意属于 $\mathcal{PSH}(\Omega) \cap C(\overline{\Omega})$ 的函数，均可在 $\overline{\Omega}$ 上被 $\mathcal{PSH}(\overline{\Omega}) \cap C^\infty(\overline{\Omega})$ 中的函数一致逼近，从而将 Fornaess-Wiegerinck 的结果从 $C^1$ 边界推广至更弱情形。
• 在任意有界伪凸对数-Lipschitz 边界区域上，存在有界多值次调和充分函数，从而将 Demailly 的结果从 Lipschitz 推广至对数-Lipschitz 域。
• 该充分函数的构造依赖于精心选择的对数障碍函数，以适应对数-Lipschitz 域中距离函数衰减更慢的特性。
• 作者建立了定量估计：当 $\delta(z) \leq \varepsilon_0$ 时，函数 $\widetilde{w}(z)$ 满足 $$ \widetilde{w}(z) \geq \left(1 - \frac{\log 2}{\log(1/\delta(z))} - C_1 \omega(\delta(z))\right) C \frac{\log[\widetilde{C}_1 \log(1/\delta(z))] }{\log(1/\delta(z))} |z|^2, $$ 确保严格多值次调和性。
• 证明表明，通过选择 $\varepsilon < \widehat{c} \delta(z)$（其中 $\widehat{c}$ 足够小），可控制逼近误差，确保逼近函数与原函数保持接近。
• 即使在低正则性条件下，通过保持复 Hessian 的所需下界，该正则化过程仍能证明对数-Lipschitz 域上存在有界多值次调和充分函数。