[论文解读] Approximation and Hardness for Token Swapping

Tillmann Miltzow, Lothar Narins+4 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2016

Genome Rearrangement Algorithms参考文献 7被引用 21

一句话总结

本文為圖上的令牌交換問題建立了緊緻的演算法界限，證明其為 NP-完全且 APX-難，並顯示在指數時間假設下無法在 2^o(n) 時間內求解。本文提出針對彩色版本的 4-近似演算法，以及針對樹的 2-近似演算法，並配合一個 2^O(n log n) 的精確演算法與匹配的下界，解決了長期懸而未決的關於一般圖上近似可解性與條件性難度的開放問題。

ABSTRACT

Given a graph G=(V,E) with V={1,...,n}, we place on every vertex a token T_1,...,T_n. A swap is an exchange of tokens on adjacent vertices. We consider the algorithmic question of finding a shortest sequence of swaps such that token T_i is on vertex i. We are able to achieve essentially matching upper and lower bounds, for exact algorithms and approximation algorithms. For exact algorithms, we rule out any 2^{o(n)} algorithm under the ETH. This is matched with a simple 2^{O(n*log(n))} algorithm based on a breadth-first search in an auxiliary graph. We show one general 4-approximation and show APX-hardness. Thus, there is a small constant delta > 1 such that every polynomial time approximation algorithm has approximation factor at least delta. Our results also hold for a generalized version, where tokens and vertices are colored. In this generalized version each token must go to a vertex with the same color.

研究动机与目标

• 解決一般圖上令牌交換問題是否為多項式時間可解或 NP-完全的開放問題。
• 確定一般圖上是否存在常數因子的多項式時間近似演算法。
• 建立精確與近似演算法複雜度的緊緻條件性下界。
• 將結果延伸至彩色令牌交換變體，其中令牌與頂點具有顏色，且令牌必須抵達相同顏色的頂點。

提出的方法

• 設計一種新型的閘道稱為偶置換網路，以模擬輸入與輸出頂點之間的任意偶置換。
• 從 3SAT 建立線性歸約至涉及不相交路徑的結構化圖問題，再歸約至彩色令牌交換問題。
• 透過在每個顏色類別上附加偶置換網路，將彩色令牌交換問題歸約至無色版本，並保持線性膨脹。
• 使用稀疏化引理以確保歸約保持次指數時間複雜度，進而能建立基於 ETH 的下界。
• 基於對令牌移動與路徑指派的結構洞察，開發彩色令牌交換問題的 4-近似演算法。
• 提出基於樹的特徵與令牌路徑分解的 2-近似演算法。

实验结果

研究问题

• RQ1 一般圖上的令牌交換問題是否為 NP-完全？
• RQ2 是否存在常數因子的多項式時間近似演算法於一般令牌交換問題？
• RQ3 在指數時間假設下，該問題是否能在次指數時間，特別是 2^o(n) 內求解？
• RQ4 在彩色令牌交換問題中，若令牌必須抵達相同顏色的頂點，該問題是否亦為 NP-難與 APX-難？
• RQ5 這些難度結果能否延伸至有界度圖？

主要发现

• 令牌交換問題即使在有界度圖上亦為 NP-完全。
• 除非指數時間假設失敗，否則該問題無法在 2^o(n) 時間內求解，確立了緊緻的下界。
• 該問題為 APX-難，表示除非 P=NP，否則不存在多項式時間近似方案，且不存在優於某個 δ>1 的常數因子近似。
• 針對一般圖上的彩色令牌交換問題，提出 4-近似演算法。
• 針對樹提出 2-近似演算法，優於先前的結果。
• 精確演算法的執行時間為 2^O(n log n)，此結果近乎最佳，因在 ETH 下存在 2^o(n) 的下界。