[论文解读] Approximation and Parameterized Complexity of Minimax Approval Voting

Marek Cygan, Łukasz Kowalik+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2016

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一句话总结

本文为最小最大批准投票问题建立了紧致的参数化复杂度界限，证明在指数时间假设（ETH）下，目前已知的最佳算法本质上是最优的。本文提出了一种参数化近似方案，时间复杂度为 $\mathcal{O}^*( (3/\epsilon)^{2d} )$，并设计了一种新的随机化多项式时间近似方案（PTAS），其运行时间近乎最优，几乎与目前已知最快的 Closest String 问题 PTAS 相当。

ABSTRACT

We present three results on the complexity of Minimax Approval Voting. First, we study Minimax Approval Voting parameterized by the Hamming distance $d$ from the solution to the votes. We show Minimax Approval Voting admits no algorithm running in time $\mathcal{O}^\star(2^{o(d\log d)})$, unless the Exponential Time Hypothesis (ETH) fails. This means that the $\mathcal{O}^\star(d^{2d})$ algorithm of Misra et al. [AAMAS 2015] is essentially optimal. Motivated by this, we then show a parameterized approximation scheme, running in time $\mathcal{O}^\star(\left({3}/ε ight)^{2d})$, which is essentially tight assuming ETH. Finally, we get a new polynomial-time randomized approximation scheme for Minimax Approval Voting, which runs in time $n^{\mathcal{O}(1/ε^2 \cdot \log(1/ε))} \cdot \mathrm{poly}(m)$, almost matching the running time of the fastest known PTAS for Closest String due to Ma and Sun [SIAM J. Comp. 2009].

研究动机与目标

• 理解当以解到选票的汉明距离 $d$ 为参数时，最小最大批准投票问题的参数化复杂度。
• 弥合此设定下参数化算法已知上下界之间的差距。
• 为最小最大批准投票问题开发一种运行时间接近最优的快速随机化多项式时间近似方案（PTAS）。
• 探索将所提随机化 PTAS 脱随机化并改进最小最大批准投票及相关问题（如 Closest String）现有 PTAS 运行时间的可能性。

提出的方法

• 证明除非指数时间假设（ETH）不成立，否则不存在算法能在 $\mathcal{O}^*(2^{o(d\log d)})$ 时间内解决最小最大批准投票问题，从而建立紧致的下界。
• 设计一种运行时间为 $\mathcal{O}^*( (3/\epsilon)^{2d} )$ 的参数化近似方案（PAS），该方案在 ETH 下本质上是最优的。
• 提出一种运行时间为 $n^{\mathcal{O}(1/\epsilon^2 \cdot \log(1/\epsilon))} \cdot \text{poly}(m)$ 的随机化 PTAS，几乎与目前已知最快的 Closest String 问题 PTAS 相当。
• 采用线性规划解的随机舍入，并利用集中不等式（如切尔诺夫不等式）来控制偏离期望值的概率。
• 将小 $d$ 情况下的确定性算法与随机化 PTAS 结合，以实现高概率的 $ (1+\epsilon) $-近似。
• 通过概率分析表明，以高概率，解到所有选票的汉明距离在 $ (1+\epsilon) \cdot \text{OPT} $ 范围内，且解中 1 的个数与 $k$ 的偏差在 $ \frac{1}{2}\epsilon \cdot \text{OPT} $ 以内。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否改进最小最大批准投票问题的 $\mathcal{O}^*(d^{2d})$ 算法？此类改进的极限是什么？
• RQ2 是否存在一种运行时间为 $\mathcal{O}^*( (3/\epsilon)^{2d} )$ 的最小最大批准投票参数化近似方案？该界限是否紧致？
• RQ3 能否构造一种运行时间几乎与目前已知最快的 Closest String 问题 PTAS 相当的随机化 PTAS？
• RQ4 在保持相近运行时间的前提下，能否将所提随机化 PTAS 脱随机化？
• RQ5 在 ETH 条件下，最小最大批准投票与 Closest String 问题的 PTAS 的最紧运行时间界限是什么？

主要发现

• 除非指数时间假设（ETH）不成立，否则最小最大批准投票问题不存在运行时间在 $\mathcal{O}^*(2^{o(d\log d)})$ 以内的算法，从而证明了 Misra 等人提出的 $\mathcal{O}^*(d^{2d})$ 算法本质上是最优的。
• 提出了一种运行时间为 $\mathcal{O}^*( (3/\epsilon)^{2d} )$ 的参数化近似方案（PAS），该方案在 ETH 下本质上是紧致的。
• 设计了一种新的随机化多项式时间近似方案（PTAS），其运行时间为 $n^{\mathcal{O}(1/\epsilon^2 \cdot \log(1/\epsilon))} \cdot \text{poly}(m)$，几乎与目前已知最快的 Closest String 问题 PTAS 相当。
• 该 PTAS 以至少 $ 1-r $ 的概率实现 $ (1+\epsilon) $-近似，总运行时间被限制在 $ n^{\mathcal{O}(\log(1/\epsilon)/\epsilon^2)} \cdot \text{poly}(m) $ 以内。
• 在 ETH 条件下，任何最小最大批准投票问题的 PTAS 都无法在 $ f(\epsilon) \cdot n^{o(1/\epsilon)} $ 时间内运行，这表明了 PTAS 运行时间的根本下界。
• 分析表明，以至少 $ 1/2 $ 的概率，解到所有选票的汉明距离在 $ (1+\epsilon) \cdot \text{OPT} $ 范围内，且解中 1 的个数与 $k$ 的偏差在 $ \frac{1}{2}\epsilon \cdot \text{OPT} $ 以内，该结论基于对 $ E_i $ 和 $ F_i $ 的集中不等式分析。