[论文解读] Approximation and stability of solutions of SDEs driven by a symmetric \alpha\ stable process with non-Lipschitz coefficients

Hiroya Hashimoto|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2011

Stochastic processes and financial applications参考文献 5被引用 5

一句话总结

本文建立了对称 $\alpha$-稳定过程（1 < α < 2）驱动的随机微分方程（SDEs）的 Euler-Maruyama 近似方法与路径稳定性，其系数满足非 Lipschitz 条件。在 Komatsu 条件下，证明了当 $\beta \in (1,\alpha)$ 时，$L^\beta$-范数下的收敛性，从而表明强解的存在性。在 Belfadli-Ouknine 条件下，进一步建立了 $\beta < \alpha$ 时的 $L^\beta$-范数下路径稳定性，将经典结果推广至非布朗运动 Lévy 过程。

ABSTRACT

Firstly, we investigate Euler-Maruyama approximation for solutions of stochastic differential equations (SDEs) driven by a symmetric \alpha\ stable process under Komatsu condition for coefficients. The approximation implies naturally the existence of strong solutions. Secondly, we study the stability of solutions under Komatsu condition, and also discuss it under Belfadli-Ouknine condition.

研究动机与目标

• 建立对称 $\alpha$-稳定过程驱动的非 Lipschitz 系数 SDE 的强解存在性。
• 将 Euler-Maruyama 近似方法扩展至非布朗运动 Lévy 过程驱动的 SDE。
• 研究在 $\alpha$-稳定噪声背景下，非 Lipschitz 条件下的解的路径稳定性。
• 将经典布朗运动 SDE 的稳定性与近似结果推广至 $\alpha$-稳定过程。
• 为具有重尾 Lévy 噪声的 SDE 中的数值方法与稳定性分析提供理论基础。

提出的方法

• 使用 Euler-Maruyama 格式近似对称 $\alpha$-稳定过程驱动的 SDE 的解。
• 应用 Komatsu 条件作为非 Lipschitz 系数条件，以保证路径唯一性与稳定性。
• 利用 Emery 不等式、Burkholder-Davis-Gundy 不等式与 Doob 的最大值不等式控制样本路径增量。
• 使用 Giné-Marcus 不等式控制近似误差中大偏差的概率。
• 应用 Lebesgue 控制收敛定理处理涉及连续性模 $\rho$ 的期望收敛性。
• 引入光滑化函数 $u_m = |\cdot|^{\alpha-1} * \phi_m$，并结合 Itô 公式与光滑逼近方法分析解差的 $L^{\alpha-1}$-范数。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于对称 $\alpha$-稳定过程驱动的非 Lipschitz 系数 SDE，Euler-Maruyama 格式是否在 $L^\beta$-范数下收敛于真实解？
• RQ2 在 Komatsu 条件下，$\alpha$-稳定 SDE 是否可建立路径唯一性与强解存在性？
• RQ3 当步长趋于零时，解是否在 Komatsu 条件下实现路径稳定性？
• RQ4 Belfadli-Ouknine 条件如何影响 $\beta < \alpha$ 时解在 $L^\beta$-范数下的稳定性？
• RQ5 在 Belfadli-Ouknine 条件下，能否建立近似误差的收敛性与一致可积性？

主要发现

• 在 Komatsu 条件下，当网格大小 $\|\Delta\| \to 0$ 时，Euler-Maruyama 近似在任意 $\beta \in (1,\alpha)$ 的 $L^\beta$-范数下收敛于真实解。
• 该收敛结果表明，对称 $\alpha$-稳定过程驱动的 SDE 存在强解。
• 在 Komatsu 条件下建立了解的路径稳定性，满足 $\sup_{0 \leq t \leq T} |X_n(t) - X(t)| \to 0$ 在概率意义下成立，且 $\beta$ 阶矩具有一致可积性。
• 在 Belfadli-Ouknine 条件下，解序列 $X_n(t)$ 在任意 $\beta < \alpha$ 时收敛于 $X(t)$ 的 $L^\beta$-范数，且 $\lim_{n \to \infty} \mathbb{E}[\sup_{0 \leq t \leq T} |X_n(t) - X(t)|^\beta] = 0$。
• 证明依赖于解差的光滑化 $L^{\alpha-1}$-范数，并通过 $\alpha$-稳定过程的转移密度进行估计。
• 本文证明了初始条件收敛性 $\mathbb{E}[|X_n(0) - X(0)|^\alpha] \to 0$ 是解路径 $L^\beta$-稳定性的充分条件。