[论文解读] Approximation by Quantum Circuits

Emanuel Knill|ArXiv.org|Aug 8, 1995

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 141

一句话总结

本文通過使用固定尺寸的量子門，建立了量子電路近似能力的強大下界，證明幾乎所有酉操作、量子態和密度矩陣都需要指數級的門數才能近似。研究表明，概率性和可驗證的古典問題對量子電路而言也具有指數級難度，從而否定了使用小門集合實現多項式時間近似的可能性。

ABSTRACT

In a recent preprint by Deutsch et al. [1995] the authors suggest the possibility of polynomial approximability of arbitrary unitary operations on $n$ qubits by 2-qubit unitary operations. We address that comment by proving strong lower bounds on the approximation capabilities of g-qubit unitary operations for fixed g. We consider approximation of unitary operations on subspaces as well as approximation of states and of density matrices by quantum circuits in several natural metrics. The ability of quantum circuits to probabilistically solve decision problem and guess checkable functions is discussed. We also address exact unitary representation by reducing the upper bound by a factor of n^2 and by formalizing the argument given by Barenco et al. [1995] for the lower bound. The overall conclusion is that almost all problems are hard to solve with quantum circuits.

研究动机与目标

• 探討在最壞情況下，使用量子電路近似酉操作、量子態和密度矩陣的複雜度。
• 挑戰「僅使用兩量子位門即可高效近似任意 n 量子位酉操作」的猜想。
• 量化由有限大小的量子電路可解決的古典決策與可驗證問題的數量。
• 形式化並改進量子電路中精確與近似酉表示的下界。

提出的方法

• 使用希爾伯特空間中的計數論證，限制有限大小量子電路所能近似的態或酉操作的數量。
• 應用總變異距離與希爾伯特-施密特範數，衡量密度矩陣與量子態的近似品質。
• 在高維希爾伯特空間的球面上使用測度論技術，推導近似集合的體積界限。
• 將精確酉表示的上界減少 n 倍，改進了先前的結果。
• 利用奇異值分解與酉等價性，將矩陣近似與態及操作保真度聯繫起來。
• 分析概率性與可驗證函數計算，以限制有限大小量子電路可解決的問題數量。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否僅使用固定大小的 g-量子位門，高效近似 n 量子位上的任意酉操作？
• RQ2 有多少個有限大小的量子電路可以近似給定的態或密度矩陣？
• RQ3 有多少比例的古典決策或可驗證問題可由具有固定門數的量子電路解決？
• RQ4 近似隨機量子態或酉操作所需的最少門數是多少？
• RQ5 在最壞情況下，量子電路的近似能力與古典電路複雜度相比如何？

主要发现

• 幾乎所有量子態都無法被任何具有次指數門數的量子電路近似得比隨機更好。
• 能以優勢 q 被 g-門量子電路猜中的函數（定義域 D ⊆ {0,1}^n 至 {0,1}）數量至多為 (4q)^D × (4√(qb))^(b·n₀/g)，暗示指數級難度。
• 精確酉表示的上界已減少 n 倍，改進了先前的工作。
• 對於使用總變異距離的密度矩陣近似，建立了類似但次優的強下界。
• 幾乎所有態對之間，將一態轉換為另一態近似態的最小量子電路都需要指數級門數。
• 概率性與可驗證的古典問題對量子電路而言具有指數級難度，意味著僅可忽略的少數問題能由有限大小電路解決。