[论文解读] Approximation diophantienne dans les corps de series en plusieurs variables

Guillaume Rond|ArXiv.org|May 31, 2005

Numerical Methods and Algorithms被引用 3

一句话总结

本文在多个变量的幂级数环中建立了丢番图逼近定理，证明了此类环的完备化中的代数元素与有理逼近之间存在由分母的赋值的幂次所界定的正距离。该结果表明，幂级数环上二元齐次多项式的Artin函数被一个仿射函数所控制，从而解决了奇点理论中的一个问题，并与弧空间上的Łojasiewicz型不等式建立了联系。

ABSTRACT

We give here a result of diophantine approximation between $Ø_N$, the ring of power series in several variables, and the completion of the valuation ring that dominates $Ø_N$ for the $\m$-adic topology. We deduce from this that the Artin function of a homogenous polynomial in two variables is bounded by an affine function, which can be interpreted in term of a Lojasiewicz inequality on the wedges space.

研究动机与目标

• 为解决多变量幂级数环中可除性失效的问题，该问题在奇点理论中阻碍了弧的提升和钱币的构造。
• 研究多变量幂级数环中理想之Artin函数的行为，特别是当其无法被仿射函数控制时的情形。
• 在m-Adic拓扑下，建立幂级数环与其完备化之间的丢番图逼近结果。
• 将此逼近结果应用于证明：在两个变量中，齐次多项式的Artin函数被仿射函数所控制。
• 通过弧空间中楔子空间上的Łojasiewicz不等式，提供几何解释。

提出的方法

• 使用N个变量的正式或收敛幂级数环上的m-Adic拓扑。
• 比较幂级数环O_N与其支配的赋值环的完备化，后者同构于K[[T]]，其中K为某域。
• 应用一个丢番图逼近定理：若代数元z属于完备化但不属于O_N，则存在常数a ≥ 1和K ≥ 0，使得对所有x,y ∈ O_N，有|z - x/y| ≥ K|y|^a。
• 利用Artin-Rees引理控制O_N中逼近的阶数。
• 将Artin函数问题约化为研究完备化中多项式Q的根，结合阶数估计与赋值界。
• 将丢番图逼近界与赋值理论估计相结合，导出Artin函数的仿射界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在多变量幂级数环上，二元齐次多项式的Artin函数是否能被仿射函数控制，即使在更高维中此类界不成立？
• RQ2 多变量幂级数环与其m-Adic完备化之间的丢番图逼近间隙的精确性质是什么？
• RQ3 多变量环中可除性的缺失如何影响奇点理论中弧与钱币的提升？
• RQ4 Artin-Rees引理在非赋值环中控制逼近的程度如何？
• RQ5 是否能从幂级数环中的丢番图逼近推导出弧空间上的Łojasiewicz型不等式？

主要发现

• 本文证明了一个丢番图逼近定理：对任意属于O_N的m-Adic完备化但不属于O_N的代数元z，存在常数a ≥ 1和K ≥ 0，使得对所有x,y ∈ O_N，有|z - x/y| ≥ K|y|^a。
• 系数属于O_N的齐次多项式P(X,Y)的Artin函数被仿射函数i ↦ λi + μ所控制，其中λ ≤ d，d为P的次数。
• 该界源于将丢番图逼近结果与完备化中关联多项式Q的根的赋值估计相结合。
• 证明利用Artin-Rees引理，将O_N中的近似解提升为m-Adic拓扑下的精确解。
• 结果确认，即使在多变量基环中，二元齐次多项式的Artin函数仍保持仿射有界。
• 关键洞见在于，多变量环中可除性的失效可通过丢番图逼近加以控制，从而实现Artin函数的有界性。