[论文解读] Approximation for Maximum Surjective Constraint Satisfaction Problems

Walter D. Bach, Hang Zhou|arXiv (Cornell University)|Oct 13, 2011

Advanced Graph Theory Research参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文在布尔域和三元域上建立了最大满射约束满足问题（Max-Sur-CSP）的复杂性二分法，表明每个问题要么属于PTAS（多项式时间近似方案），要么属于APX-完全。作者证明了在二分法假设下，Max-Sur-CSP继承了Max-CSP的近似行为，揭示了即使在标准CSP下为NP难的问题，某些Max-Sur-CSP问题仍能拥有高效的近似方案。

ABSTRACT

Maximum surjective constraint satisfaction problems (Max-Sur-CSPs) are computational problems where we are given a set of variables denoting values from a finite domain B and a set of constraints on the variables. A solution to such a problem is a surjective mapping from the set of variables to B such that the number of satisfied constraints is maximized. We study the approximation performance that can be acccchieved by algorithms for these problems, mainly by investigating their relation with Max-CSPs (which are the corresponding problems without the surjectivity requirement). Our work gives a complexity dichotomy for Max-Sur-CSP(B) between PTAS and APX-complete, under the assumption that there is a complexity dichotomy for Max-CSP(B) between PO and APX-complete, which has already been proved on the Boolean domain and 3-element domains.

研究动机与目标

• 对有限域上的最大满射约束满足问题（Max-Sur-CSP）的可近似性进行分类。
• 研究满射约束相较于标准Max-CSP如何影响近似复杂性。
• 确定布尔域和三元域上的Max-Sur-CSP问题是否属于PTAS或APX-完全类。
• 探索是否存在NP难的Max-Sur-CSP问题仍能拥有PTAS，从而挑战标准Max-CSP的直觉。

提出的方法

• 以布尔域和三元域上Max-CSP的已知复杂性二分法（PO vs. APX-完全）作为基础假设。
• 通过比较Max-Sur-CSP与Max-CSP的近似比，推导出不可近似性或可近似性结果。
• 使用常数比近似算法，证明所有Max-Sur-CSP问题均属于APX。
• 将Max-Sur-CSP约化为图中的最小割问题，以构造特定情况下的多项式时间近似方案。
• 应用关系模板的结构属性（如弱正性、亲和性）对易处理与困难情况分类。
• 通过从Sur-CSP到Max-Sur-CSP的约化，建立特定关系结构的NP难性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，Max-Sur-CSP(𝐵) 属于PTAS而非APX-完全？
• RQ2 是否存在NP难的Max-Sur-CSP问题仍能拥有PTAS，即使Max-CSP(𝐵)可在多项式时间内求解？
• RQ3 满射约束相较于标准Max-CSP如何改变近似复杂性？
• RQ4 在小域上，Max-Sur-CSP(𝐵) 是否存在PO、PTAS但NP难、APX-难的复杂性三叉法？
• RQ5 当r₀为Max-CSP(𝐵)的近似阈值时，Max-Sur-CSP(𝐵)是否为多项式时间r₀-近似可解？

主要发现

• 在布尔域和三元域上，Max-Sur-CSP(𝐵)表现出复杂性二分法：每个问题要么属于PTAS，要么属于APX-完全。
• 存在NP难的Max-Sur-CSP(𝐵)问题属于PTAS，表明满射性可使困难问题变得可高效近似。
• Max-CSP(𝐵)的近似阈值决定了Max-Sur-CSP(𝐵)的可近似性：当r < r₀时，Max-Sur-CSP(𝐵)为r-近似可解；当r > r₀时，不可r-近似可解。
• 对于Max-CSP(𝐵)属于PO的关系结构𝐵，Max-Sur-CSP(𝐵)可能仍为NP难但属于PTAS，如布尔域上的三元关系所示。
• Minimum-Asymmetric-Cut和Minimum-Rainbow-Coloring问题是属于NP难但属于PTAS的Max-Sur-CSP(𝐵)问题的实例。
• 本文未解决的问题包括：当r₀为Max-CSP(𝐵)的近似阈值时，Max-Sur-CSP(𝐵)是否为多项式时间r₀-近似可解，以及在小域上Max-Sur-CSP(𝐵)是否存在三叉法。