[论文解读] Approximation in $AC(σ)$

Ian Doust, Michael Leinert+1 more|UNSWorks (University of New South Wales, Sydney, Australia)|Dec 6, 2013

Advanced Banach Space Theory参考文献 9被引用 3

一句话总结

本文证明了在紧致子集 $\sigma \subset \mathbb{R}^2$ 上的绝对连续函数空间 $AC(\sigma)$ 中，连续可微函数空间 $C^1(\sigma)$ 和连续分片平面函数空间 $\mathrm{CTPP}(\sigma)$ 是稠密的。作者通过使用变差范数对多项式和分片平面函数进行逼近，将经典结果从 $AC[0,1]$ 推广到二维情形。

ABSTRACT

For a nonempty compact subset $σ$ in the plane, the space $AC(σ)$ is the closure of the space of complex polynomials in two real variables under a particular variation norm. In the classical setting, $AC[0,1]$ contains several other useful dense subsets, such as continuous piecewise linear functions, $C^1$ functions and Lipschitz functions. In this paper we examine analogues of these results in this more general setting.

研究动机与目标

• 将经典逼近结果从 $AC[0,1]$ 推广到紧致 $\sigma\subset\mathbb{R}^2$ 的多变量情形 $AC(\sigma)$。
• 研究标准稠密子集（如 $C^1(\sigma)$、Lipschitz 函数、连续分片线性函数）在 $AC(\sigma)$ 中是否存在类似结构。
• 在变差范数下，建立 $C^1(\sigma)$ 和 $\mathrm{CTPP}(\sigma)$ 在 $AC(\sigma)$ 中的稠密性。

提出的方法

• 定义变差范数 $\|f\|_{BV(\sigma)} = \|f\|_\infty + \operatorname{var}(f,\sigma)$，其中 $\operatorname{var}(f,\sigma)$ 是所有有限列表 $S\subset\sigma$ 的 $\operatorname{cvar}(f,S)/\operatorname{vf}(S)$ 的上确界。
• 引入 $\mathrm{CTPP}(\sigma)$，即 $\sigma$ 上的连续分片平面函数空间，作为 $[0,1]$ 上分片线性函数的二维类比。
• 利用绝对连续性的局部性质，将全局逼近问题转化为紧致邻域上的局部逼近。
• 在三角形上应用中值定理和罗尔定理，以控制 $C^1$ 函数与其分片平面插值函数之间的差异。
• 利用多项式在 $AC(\sigma)$ 中的稠密性，并通过分片平面函数逼近，证明 $\mathrm{CTPP}(\sigma)$ 和 $C^1(\sigma)$ 的稠密性。
• 通过分离实部与虚部，并应用相同的逼近技术，将结果从实值函数推广至复值函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于紧致 $\sigma\subset\mathbb{R}^2$，$C^1\sigma$ 函数能否在 $BV(\sigma)$-范数下被 $AC(\sigma)$ 中的更简单函数逼近？
• RQ2 是否存在一个在 $AC(\sigma)$ 中稠密的二维分片线性函数的类比？
• RQ3 经典逼近结果在 $AC[0,1]$ 中是否可推广至 $AC(\sigma)$ 的多变量情形？
• RQ4 $C^1(\sigma)$ 函数能否在变差范数下被分片平面函数逼近？
• RQ5 $\mathrm{CTPP}(\sigma)$ 和 $C^1(\sigma)$ 在 $\sigma$ 上的复值函数空间中是否在 $AC(\sigma)$ 中稠密？

主要发现

• 在变差范数下，$C^1(\sigma)$ 在 $AC(\sigma)$ 中是稠密的，将经典结果从 $AC[0,1]$ 推广至紧致平面集。
• $\mathrm{CTPP}(\sigma)$——连续分片平面函数空间——在 $AC(\sigma)$ 中是稠密的，为分片线性逼近提供了自然的多变量类比。
• 对任意 $f\in AC(\sigma)$ 和 $\varepsilon>0$，存在 $g\in\mathrm{CTPP}(\sigma)$ 使得 $\|f-g\|_{BV(\sigma)}<\varepsilon$，且通过在三角形上的局部逼近推导出显式界。
• 相同的逼近结果对 $AC(\sigma)$ 中的复值函数也成立，因为实部与虚部均可由 $\mathrm{CTPP}(\sigma)$ 函数逼近。
• 变差范数支持局部到整体的论证：若函数在 $\sigma$ 中每点的邻域上绝对连续，则该函数属于 $AC(\sigma)$。
• $C^1(\sigma)$ 在 $AC(\sigma)$ 中的稠密性源于多项式在 $AC(\sigma)$ 中的稠密性，且 $C^1(\sigma)$ 包含所有多项式。