[论文解读] Approximation in C^N

N. Levenberg|ArXiv.org|Nov 8, 2006

Mathematical functions and polynomials参考文献 42被引用 34

一句话总结

本综述探讨了在复空间 ℂ^N 中的逼近理论，运用了多复变函数论的工具，重点关注多项式逼近、多重次调和函数以及复 Monge-Ampère 算子。主要贡献在于证明了 L-极值函数 V_K^* 的 Monge-Ampère 测度 (dd^c V_K^*)^N 是非多重极小紧集 K 的自然平衡测度，从而将 ℂ 中的经典结果推广至高维情形。

ABSTRACT

This is a survey article on selected topics in approximation theory. The topics either use techniques from the theory of several complex variables or arise in the study of the subject. The survey is aimed at readers having an acquaintance with standard results in classical approximation theory and complex analysis but no apriori knowledge of several complex variables is assumed.

研究动机与目标

• 将经典逼近理论结果从 ℂ 推广至 ℂ^N，采用多复变函数论的技术。
• 刻画紧集 K ⊂ ℂ^N 的特征，使得在 K 的邻域内全纯的函数可被 K 上的多项式一致逼近。
• 明确 L-极值函数 V_K^* 及其 Monge-Ampère 测度 (dd^c V_K^*)^N 在高维复逼近中作为自然平衡测度的作用。
• 研究 ℂ^N 中多项式凸性、多重次调和函数与 Mergelyan 性质之间的关系。
• 探讨高维情形下关于极值数组、Markov 不等式及调和逼近的开放问题。

提出的方法

• 利用多重次调和函数及其相关电流来建模 ℂ^N 中的子水平集与极值函数。
• 应用复 Monge-Ampère 算子 (dd^c)^N 在紧集 K 上定义正测度 (dd^c V_K^*)^N，推广了 ℂ 中的平衡测度。
• 采用极大多重次调和函数的概念（由 (dd^c u)^N = 0 定义）来刻画高维中的调和类行为。
• 利用包含 K 的区域 D 的相对极值函数 ω*(·, K, D) 来研究紧集上的逼近。
• 应用斯托克斯定理与流形式语言，为局部有界的多重次调和函数 v 定义 (dd^c v)^N。
• 依赖于拟势论中的基础结果（如 Bedford-Taylor 理论）以及 Range 和 Hörmander 的积分公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些紧集 K ⊂ ℂ^N，其邻域内全纯的函数在 K 上可被多项式一致逼近？
• RQ2 在 ℂ^N 中，Monge-Ampère 测度 (dd^c V_K^*)^N 是否构成非多重极小紧集的平衡测度？
• RQ3 在非多重极小紧集 K ⊂ ℂ^N 上的 Fekete 数组，其归一化离散测度 μ_n 是否弱*收敛于 (dd^c V_K^*)^N？
• RQ4 在 ℝ^N（N ≥ 3）中，哪些具有非空内部的紧凸集 K 允许调和极值数组以一致方式逼近调和函数？
• RQ5 若紧集 K ⊂ ℂ^N 满足 Markov 不等式，是否必为正则集或非多重极小集，且是否满足性质 (HCP)？

主要发现

• 对任意非多重极小紧集 K ⊂ ℂ^N，L-极值函数 V_K^* 满足在 K 外部有 (dd^c V_K^*)^N = 0，表明其在补集中的极大性。
• Monge-Ampère 测度 (dd^c V_K^*)^N 作为 K 的平衡测度起作用，类似于 ℂ 中格林函数的平衡测度。
• 相对极值函数 ω*(·, K, D) 满足在 D \∓ K 内有 (dd^c ω*)^N = 0，确认其在相对逼近理论中的角色。
• 在 ℂ^N 中，K 上全纯函数被多项式一致逼近的性质，由误差 d_n(f, K) 的衰减速率刻画，若 f 在半径 R > 1 的球内全纯，则有 limsup d_n(f, K)^{1/n} ≤ 1/R。
• 本文证明了复 Monge-Ampère 算子 (dd^c)^N 可通过流论积分方法，对局部有界的多重次调和函数良好定义。
• 综述确认了 ℂ^N 中的多项式凸性与 Mergelyan 性质，与极值函数及其 Monge-Ampère 测度的结构密切相关。