[论文解读] Approximation Limits of Linear Programs (Beyond Hierarchies)

Gábor Braun, Samuel Fiorini+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2012

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 31被引用 40

一句话总结

本文建立了对组合优化问题（如 CLIQUE）和半定规划（SDP）的多项式规模线性规划（LP）近似问题的无条件下界。通过将近似限制与源自唯一不相交问题（UDISJ）的矩阵的非负秩联系起来，证明了对于 CLIQUE 的 $O(n^{1/2- heta})$-近似，即使在超越层级结构的一般 LP 中，也需要大小为 $2^{n^{ ext{Ω}( heta)}}$ 的 LP。

ABSTRACT

We develop a framework for approximation limits of polynomial-size linear programs from lower bounds on the nonnegative ranks of suitably defined matrices. This framework yields unconditional impossibility results that are applicable to any linear program as opposed to only programs generated by hierarchies. Using our framework, we prove that O(n^{1/2-eps})-approximations for CLIQUE require linear programs of size 2^{n^Ω(eps)}. (This lower bound applies to linear programs using a certain encoding of CLIQUE as a linear optimization problem.) Moreover, we establish a similar result for approximations of semidefinite programs by linear programs. Our main ingredient is a quantitative improvement of Razborov's rectangle corruption lemma for the high error regime, which gives strong lower bounds on the nonnegative rank of certain perturbations of the unique disjointness matrix.

研究动机与目标

• 建立对近似 NP-难问题（如 CLIQUE）的多项式规模 LP 松弛的无条件大小下界。
• 开发一个通用框架，将 LP 的近似限制转化为相关矩阵的非负秩下界。
• 将此框架扩展到半定规划（SDP）的扩展形式近似，表明 LP 对 SDP 的近似存在类似限制。
• 通过将该框架应用于任意 LP（而不仅限于提升-投影方法生成的 LP）来克服先前基于层级分析的局限性。
• 提供证据表明，某些近似保证（尤其是 CLIQUE 和 Max CUT 等问题）需要非 LP 技术（如 SDP 或组合方法）才能实现。

提出的方法

• 将近似组合优化问题的问题转化为对由一对多面体（可行解集 $P$ 和目标编码 $Q$）导出的松弛矩阵的非负秩的有界。
• 对高误差区域应用 Razborov 矩形污染引理的新型定量强化，特别针对唯一不相交矩阵（UDISJ）的平移版本。
• 将非负秩下界应用于对 UDISJ 矩阵所有元素加上正偏移后得到的矩阵，以建模近似 LP 松弛。
• 证明：任何夹在 $P$ 和缩放后的 $\rho Q$ 之间的多面体 $K$，其扩展复杂度至少为 $P$ 和 $\rho Q$ 的松弛矩阵的非负秩。
• 利用已知的 UDISJ 上的通信复杂度下界推导出非负秩下界，进而推导出指数级 LP 大小小下界。
• 将该框架应用于 CLIQUE 和 SDP 近似，表明即使对 SDP 的常数因子近似，若 SDP 的正半定秩较小，则仍需要指数级大小的 LP。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否证明对多项式规模 LP 松弛的无条件大小下界，以近似 CLIQUE，且独立于层级结构？
• RQ2 对 CLIQUE 实现非平凡近似比的 LP 松弛的最小扩展复杂度是多少？
• RQ3 LP 的近似限制与 SDP 的近似限制相比如何，特别是在 Max CUT 等问题背景下？
• RQ4 能否利用平移后 UDISJ 矩阵的非负秩下界，推导出组合优化问题的强不可近似性结果？
• RQ5 使用 LP 近似 SDP 是否存在固有局限性？若存在，其定量权衡关系如何？

主要发现

• 任何实现 $O(n^{1/2- heta})$-近似的多项式规模 LP 松弛，即使在超越层级结构的一般 LP 中，其大小也必须为 $2^{n^{ ext{Ω}( heta)}}$。
• 该框架无条件地适用于任何 LP 松弛，不仅限于由提升-投影层级生成的 LP，通过将其问题转化为非负秩下界来实现。
• 对于用多面体近似谱半定体的情况，若 $\rho$ 为常数，则任何此类多面体松弛的扩展复杂度必须为 $2^{ ext{Ω}(n)}$。
• 当 $\rho = O(n^\beta)$ 且 $\beta < 1/2$ 时，任何此类松弛的扩展复杂度为 $2^{ ext{Ω}(n^{1-2\beta})}$，表明近似比与 LP 大小之间存在权衡。
• 本文提供了强有力的证据，表明某些近似保证（如 Max CUT）无法通过多项式规模 LP 实现，而 SDP 基础算法则可以实现。
• 结果表明，对于 CLIQUE 和 Max CUT 等问题，要实现良好近似比，必须依赖非 LP 技术，如 SDP 或组合方法。