[论文解读] Approximation of barter exchanges with cycle length constraints

Suiqian Luo, Pingzhong Tang+2 more|arXiv (Cornell University)|May 28, 2016

Auction Theory and Applications参考文献 4被引用 4

一句话总结

本文研究了肾脏互换市场的计算复杂性，将之建模为加权有向图，以在长度约束下寻找顶点不相交的环，使总权重最大化。研究证明了在加权和无权图中，当环长度 ≤3 时，近似比的强下界分别超过 14/13、434/433 和 698/697。同时提出了两种实用的多项式时间算法，在模拟数据上实现了接近最优的性能。

ABSTRACT

We explore the clearing problem in the barter exchange market. The problem, described in the terminology of graph theory, is to find a set of vertex-disjoint, length-restricted cycles that maximize the total weight in a weighted digraph. The problem has previously been shown to be NP-hard. We advance the understanding of this problem by the following contributions. We prove three constant inapproximability results for this problem. For the weighted graphs, we prove that it is NP-hard to approximate the clearing problem within a factor of 14/13 under general length constraints and within a factor of 434/433 when the cycle length is not longer than 3. For the unweighted graphs, we prove that this problem is NP-hard to approximate within a factor of 698/697. For the unweighted graphs when the cycle length is not longer than 3, we design and implement two simple and practical algorithms. Experiments on simulated data suggest that these algorithms yield excellent performances.

研究动机与目标

• 理解在肾脏互换市场中，对具有环长约束的以物易物交换进行清盘的计算困难性。
• 在各种环长边界下，为加权图和无权图建立紧致的不可近似性结果。
• 设计并评估实用的、多项式时间的算法，使其在真实世界模拟中能获得接近最优的解。
• 弥合理论复杂性与实际性能之间的差距，为现有系统中使用整数规划而非近似算法提供合理性支持。

提出的方法

• 通过从 Max-3Lin-2 和 Maximum-3-Dimensional-Matching 问题进行归约，证明不可近似性。
• 设计算法 1，通过将图转化为二分图匹配问题，以寻找最大 3-环。
• 设计算法 2，通过在变换后的图上进行两阶段匹配过程，以寻找最大 2-环和 3-环。
• 实现两种算法，并在不同规模的基于美国和中国人口的模拟数据上进行评估。
• 使用 Max-Size-2-Exchange 和 Max-Size-Exchange 分别作为下界和上界，以评估解的质量。
• 对每种规模的 10 个随机图实例进行统计平均，以评估解的质量和运行时间。

实验结果

研究问题

• RQ1 在一般环长约束下，加权肾脏互换问题的最佳可能近似比是多少？
• RQ2 当环长限制为最多 3 时，该问题在加权和无权情况下近似的难度如何？
• RQ3 尽管存在强烈的理论不可近似性下界，简单的高效算法是否能在实践中实现接近最优的解？
• RQ4 肾脏互换问题与 Max-3Lin-2 和 3D-Matching 等基本的 NP-难优化问题之间存在何种关系？
• RQ5 在真实世界模拟中，实用算法是否能超越理论极限？

主要发现

• 在一般环长约束下，加权肾脏互换问题是 NP-难的，无法在 14/13 的近似因子内求解。
• 在加权图中，当环长 ≤3 时，该问题是 NP-难的，无法在 434/433 的近似因子内求解。
• 在无权图中，当环长 ≤3 时，该问题是 NP-难的，无法在 698/697 的近似因子内求解。
• 算法 1 的近似比为 3，且在多项式时间内运行，但效率较低。
• 算法 2 比算法 1 运行更快，并产生极接近最优的解，甚至在 10 次测试中 5 次（2000 个节点的美国数据）找到了最优解。
• 两种算法均在两分钟内返回解，且解的质量非常接近上界（Max-Size-Exchange），表明尽管存在理论困难，其实际性能依然强劲。